수학 명제: 절대부등식과 조건부등식

부등식 \( >, <, \geq, \leq \)을 사용하여 수나 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식이라고 해요. 부등식은 크게 절대부등식과 조건부등식으로 나눌 수 있습니다.

절대부등식과 조건부등식의 정의

• 절대부등식: 문자에 어떤 실수 값을 대입해도 항상 성립하는 부등식
• 조건부등식: 특정한 실수 값에 대해서만 성립하는 부등식

개념 살펴보기

예를 들어, 부등식 \( x^2 + 1 > 0 \)은 어떤 실수 값을 대입해도 항상 참이므로 절대부등식입니다.

반면, 부등식 \( x – 2 < 0 \)은 \( x < 2 \)일 때만 참이므로 조건부등식입니다.

개념 확인 문제

다음 부등식 중 절대부등식인 것을 고르세요.

• ① \( x + 5 > 0 \)
• ② \( (x – 2)^2 + 2 > 0 \)
• ③ \( x^2 + x + 1 > 0 \)

문제 풀이

• ① \( x > -5 \)일 때 성립하므로 조건부등식
• ② 모든 실수에 대해 성립하므로 절대부등식
• ③ \( x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0 \)이므로 절대부등식

결론

절대부등식은 모든 실수에 대해 항상 성립하는 부등식이며, 조건부등식은 특정 조건에서만 성립하는 부등식입니다.