수학 명제: 대우법과 귀류법
수학 논리학에서 대우법과 귀류법은 명제의 참을 증명하는 중요한 기법이에요.
대우법과 귀류법이란?
- 대우법: 명제 \( p \rightarrow q \)가 참이면, 그 대우인 \( \sim q \rightarrow \sim p \)도 참입니다. 따라서 \( \sim q \rightarrow \sim p \)를 증명하면 원래 명제가 참임을 보일 수 있습니다.
- 귀류법: 명제 \( p \rightarrow q \)를 직접 증명하기 어려울 때, \( p \)가 참인데 \( q \)가 거짓이라고 가정하고 모순이 발생함을 보이면 명제가 참임을 증명할 수 있습니다.
개념 살펴보기
1. 대우법
예를 들어, 자연수 \( x \)에 대해 다음 명제를 생각해 봅시다.
- 명제: \( x^2y \)가 짝수이면 \( x \) 또는 \( y \) 중 적어도 하나는 짝수이다.
이 명제의 대우는 다음과 같습니다.
- 대우: \( x \)와 \( y \)가 모두 홀수이면 \( x^2y \)도 홀수이다.
이 대우를 증명하면 원래 명제가 참임을 보일 수 있습니다.
2. 귀류법
명제 \( a, b \)가 서로소이면 \( a \)와 \( b \)가 모두 짝수일 수 없다. 이 명제를 귀류법으로 증명해 보겠습니다.
- 가정: \( a \)와 \( b \)가 모두 짝수라고 가정하면, \( a, b \)는 공통된 짝수인 2의 배수를 갖게 되어 서로소가 아니라는 모순이 발생합니다.
- 따라서 가정이 모순이므로 원래 명제가 참임을 보일 수 있습니다.
개념 확인 문제
다음 명제의 대우를 사용하여 참을 증명해 보세요.
- 주어진 명제: \( xy \neq 0 \)이면 \( x \neq 0 \)이고 \( y \neq 0 \)이다.
- 이 명제의 대우를 구하고, 이를 사용하여 증명하는 과정을 이해해 보세요.
문제 풀이
- 주어진 명제의 대우: \( x = 0 \) 또는 \( y = 0 \)이면 \( xy = 0 \)이다.
- 이 대우는 자명하게 참이므로, 원래 명제도 참입니다.
결론
대우법과 귀류법은 논리적 증명을 할 때 매우 유용한 방법입니다. 이 기법들을 활용하면 보다 논리적이고 체계적인 수학적 증명이 가능합니다.