📌 산술평균 ≥ 기하평균! 지수식에서도 이 부등식이 통하는 이유, 제대로 알고 계신가요?
이 문제는 산술평균과 기하평균의 관계(AM-GM 부등식)를 지수식에 적용하는 고난도 유형입니다. (1)은 직선 y = −3x + 6 위의 점 (a, b)에서 5ᵃ + (⁴√5)ᵇ의 최솟값을 구하고, (2)는 (2⁻ᵃ ÷ 2⁴ᵇ)⁻² = 2⁸ 조건에서 (⁴√5)ᵃ + 5ᵇ의 최솟값을 구합니다. 핵심은 지수를 5의 거듭제곱 꼴로 통일한 뒤 AM-GM을 적용하고, 등호 조건을 정확히 확인하는 것입니다. 정답은 (1) 10, (2) 2√5입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 106번 · STEP3 일등급문제)
다음 물음에 답하시오.
(1) 좌표평면 위의 점 (a, b)가 직선 y = −3x + 6 위를 움직일 때, 5ᵃ + (⁴√5)ᵇ의 최솟값을 구하시오.
(2) 실수 a, b에 대하여 (2⁻ᵃ ÷ 2⁴ᵇ)⁻² = 2⁸을 만족할 때, (⁴√5)ᵃ + 5ᵇ의 최솟값을 구하시오.
정답: (1) 10, (2) 2√5
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(1) 점 (a, b)가 y = −3x + 6 위 → 5ᵃ + (⁴√5)ᵇ 최솟값
점 (a, b)가 y = −3x + 6 위에 있으므로 b = −3a + 6, 즉 b/3 + a = 2입니다.
5ᵃ > 0, 5b/3 > 0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
5ᵃ + (⁴√5)ᵇ = 5ᵃ + 5b/3 ≥ 2√(5ᵃ × 5b/3) = 2√(5a + b/3) = 2√(5²) = 2 × 5 = 10
(단, 등호는 3a = b일 때, 즉 a = 1일 때 성립합니다.)
따라서 5ᵃ + (⁴√5)ᵇ의 최솟값은 10
(2) (2⁻ᵃ ÷ 2⁴ᵇ)⁻² = 2⁸ → (⁴√5)ᵃ + 5ᵇ 최솟값
(2⁻ᵃ ÷ 2⁴ᵇ)⁻² = (2−a−4b)⁻² = 22a+8b = 2⁸이므로
2a + 8b = 8, 즉 a/4 + b = 1입니다.
(⁴√5)ᵃ + 5ᵇ = 5a/4 + 5ᵇ이고 5a/4 > 0, 5ᵇ > 0이므로
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
5a/4 + 5ᵇ ≥ 2√(5a/4 × 5ᵇ) = 2√(5a/4 + b) = 2√(5¹) = 2√5
(단, 등호는 a = 4b일 때, 즉 a = 2일 때 성립합니다.)
따라서 (⁴√5)ᵃ + 5ᵇ의 최솟값은 2√5
∴ 정답: (1) 10, (2) 2√5
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (⁴√5)ᵇ를 5b/4로 잘못 변환하는 경우.
⁴√5 = 51/4이므로 (⁴√5)ᵇ = (51/4)ᵇ = 5b/4…가 아니라,
문제를 다시 확인하세요. (1)에서 (⁴√5)ᵇ는 맞게 b/4가 아닌지 b 자체인지 주의!
여기서는 (⁴√5)ᵇ = 5b/4이고, b = −3a + 6이므로 b/4 = (−3a+6)/4가 아니라,
밑을 통일해서 a + b/3 = 2 (또는 a/4 + b = 1)로 정리하는 게 핵심입니다.
실수 ② AM-GM을 쓸 때 5ᵃ > 0, 5b/3 > 0 조건을 확인하지 않는 경우.
지수함수의 값은 항상 양수이므로 이 조건은 자동으로 성립하지만, 답안에는 반드시 명시해야 합니다.
실수 ③ 등호 조건을 확인하지 않는 실수.
AM-GM에서 등호는 두 항이 같을 때(5ᵃ = 5b/3, 즉 a = b/3)이고,
이 값이 조건식과 양립하는지 확인해야 합니다.
💡 꿀팁 – 지수식 + AM-GM 패턴
5f(a,b) + 5g(a,b)의 최솟값을 구할 때,
① 먼저 조건식에서 f + g = (상수)로 정리
② AM-GM: 5f + 5g ≥ 2√(5f+g) = 2 × 5(f+g)/2
③ 등호 조건: f = g, 즉 두 지수가 같을 때
이 3단계만 기억하면, 밑이 같은 지수식의 합의 최솟값 문제는 거의 모두 해결됩니다.