📌 aˣ = bʸ = cᶻ = k 꼴이 두 묶음! 로그 변환 vs 지수 거듭제곱, 어떤 풀이가 빠를까요?
이 문제는 aˣ = k 꼴에서 a = k1/x로 변환하는 테크닉과 로그를 이용한 풀이를 모두 연습할 수 있는 고난도 유형입니다. (1)은 3ˣ = 5ʸ = 15ᶻ = a에서 1/x + 1/y + 1/z = 2를 이용하고, (2)는 5ˣ = 80ʸ = aᶻ = 100에서 1/x + 1/y − 1/z = 2를 이용합니다. 두 소문항 모두 “밑을 a로 통일”하거나 “양변에 상용로그를 취하는” 방법으로 풀 수 있으며, 정답은 (1) a = 15, (2) a = 4입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 105번 · STEP3 일등급문제)
다음 물음에 답하시오. (단, xyz ≠ 0)
(1) 3ˣ = 5ʸ = 15ᶻ = a, 1/x + 1/y + 1/z = 2일 때, 양수 a의 값을 구하시오.
(2) 5ˣ = 80ʸ = aᶻ = 100이고 1/x + 1/y − 1/z = 2일 때, 양수 a의 값을 구하시오.
정답: (1) 15, (2) 4
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(1) 3ˣ = 5ʸ = 15ᶻ = a, 1/x + 1/y + 1/z = 2
3ˣ = a에서 양변을 1/x 제곱하면 (3ˣ)1/x = a1/x ∴ a1/x = 3 ……ⓐ
5ʸ = a에서 양변을 1/y 제곱하면 a1/y = 5 ……ⓑ
15ᶻ = a에서 양변을 1/z 제곱하면 a1/z = 15 ……ⓒ
ⓐ × ⓑ × ⓒ에서 a1/x × a1/y × a1/z = a1/x + 1/y + 1/z = 3 × 5 × 15 = 225
이때 1/x + 1/y + 1/z = 2이므로 a² = 225
따라서 a = 15 (∵ a > 0)
3ˣ = a에서 x = log₃a이므로 1/x = logₐ3
5ʸ = a에서 y = log₅a이므로 1/y = logₐ5
15ᶻ = a에서 z = log₁₅a이므로 1/z = logₐ15
이때 1/x + 1/y + 1/z = logₐ3 + logₐ5 + logₐ15 = logₐ225 = 2logₐ15
따라서 1/x + 1/y + 1/z = 2이고 2logₐ15 = 2, logₐ15 = 1이므로 a = 15
(2) 5ˣ = 80ʸ = aᶻ = 100, 1/x + 1/y − 1/z = 2
5ˣ = 10²에서 양변을 1/x 제곱하면 (5ˣ)1/x = 102/x ∴ 101/x = 5 ……ⓐ
80ʸ = 10²에서 양변을 1/y 제곱하면 101/y = 80 ……ⓑ
aᶻ = 10²에서 양변을 1/z 제곱하면 101/z = a ……ⓒ
ⓐ × ⓑ ÷ ⓒ에서 101/x × 101/y ÷ 101/z = 101/x + 1/y − 1/z = 5 × 80 ÷ a = 400/a
이때 1/x + 1/y − 1/z = 2이므로 10² = 400/a
따라서 a = 4
5ˣ = 100에서 x = log₅100이므로 1/x = log₁₀5
80ʸ = 100에서 y = log₈₀100이므로 1/y = log₁₀80
aᶻ = 100에서 z = logₐ100이므로 1/z = log₁₀a
이때 1/x + 1/y − 1/z = log₁₀5 + log₁₀80 − log₁₀a = log₁₀(400/a)
따라서 log₁₀(400/a) = 2이고 400/a = 100이므로 a = 4
∴ 정답: (1) 15, (2) 4
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (1)에서 a1/x + 1/y + 1/z = 3 + 5 + 15 = 23으로 계산하는 오류.
지수법칙에 의해 a1/x × a1/y × a1/z이므로 덧셈이 아니라 곱셈(3 × 5 × 15 = 225)입니다.
실수 ② (2)에서 1/x + 1/y − 1/z의 “빼기”를 놓치고 곱셈으로만 처리하는 경우.
ⓐ × ⓑ × ⓒ가 아니라 ⓐ × ⓑ ÷ ⓒ입니다. 부호에 주의하세요.
실수 ③ a² = 225에서 a = ±15로 두 값을 모두 답으로 쓰는 경우.
문제에서 “양수 a”라는 조건이 있으므로 a = 15만 정답입니다.
💡 꿀팁 – aˣ = bʸ = cᶻ = k 유형 2가지 풀이법
이 유형은 두 가지 접근이 가능합니다.
방법 1 (지수 변환): aˣ = k → a = k1/x로 바꾸고, k1/x + 1/y + … 꼴로 묶기
방법 2 (로그 변환): aˣ = k → x = logₐk → 1/x = log_k a로 바꾸고, 로그 성질로 합치기
두 방법 중 편한 쪽을 선택하되, 시험장에서는 방법 1이 계산이 더 깔끔한 경우가 많습니다.