📌 9ˣ − 3ˣ⁺¹ = −1을 3ˣ로 나누면? 대칭식의 시작점이 보입니다!
이 문제는 지수방정식에서 대칭식 값을 단계적으로 올리는 서술형 유형입니다. 9ˣ − 3 · 3ˣ + 1 = 0 양변을 3ˣ로 나누면 3ˣ + 3⁻ˣ = 3이 나오고, 이를 제곱하여 9ˣ + 9⁻ˣ, 다시 제곱하여 81ˣ + 81⁻ˣ까지 구합니다. “지수방정식 → 대칭식 추출 → 단계적 제곱”이라는 풀이 흐름을 확실히 익혀두세요. 정답은 8입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 97번 · 서술형)
9ˣ − 3ˣ⁺¹ = −1일 때, (81ˣ + 81⁻ˣ + 1)/(9ˣ + 9⁻ˣ − 1)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
[1단계] 9ˣ − 3ˣ⁺¹ = −1에서 3ˣ + 3⁻ˣ의 값을 구한다. [2점]
[2단계] 9ˣ + 9⁻ˣ의 값을 구한다. [3점]
[3단계] 81ˣ + 81⁻ˣ의 값을 구한다. [3점]
[4단계] (81ˣ + 81⁻ˣ + 1)/(9ˣ + 9⁻ˣ − 1)의 값을 구한다. [2점]
정답은 8입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
9ˣ − 3ˣ⁺¹ = −1에서 3²ˣ − 3 · 3ˣ + 1 = 0
양변을 3ˣ로 나누면 3ˣ − 3 + 3⁻ˣ = 0
∴ 3ˣ + 3⁻ˣ = 3
3ˣ + 3⁻ˣ = 3의 양변을 제곱하면
(3ˣ + 3⁻ˣ)² = 3²에서 9ˣ + 2 + 9⁻ˣ = 9
∴ 9ˣ + 9⁻ˣ = 7
[별해] 9ˣ + 9⁻ˣ = (3ˣ + 3⁻ˣ)² − 2 = 9 − 2 = 7
9ˣ + 9⁻ˣ = 7의 양변을 제곱하면
(9ˣ + 9⁻ˣ)² = 7²에서 81ˣ + 2 + 81⁻ˣ = 49
∴ 81ˣ + 81⁻ˣ = 47
[별해] 81ˣ + 81⁻ˣ = (9ˣ + 9⁻ˣ)² − 2 = 49 − 2 = 47
(81ˣ + 81⁻ˣ + 1) / (9ˣ + 9⁻ˣ − 1)
= (47 + 1) / (7 − 1) = 48 / 6 = 8
∴ (81ˣ + 81⁻ˣ + 1)/(9ˣ + 9⁻ˣ − 1) = 8
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 9ˣ − 3ˣ⁺¹ = −1에서 3ˣ⁺¹ = 3 · 3ˣ로 변환하지 못하는 경우.
지수법칙 3ˣ⁺¹ = 3¹ · 3ˣ = 3 · 3ˣ를 확실히 기억하세요.
실수 ② 양변을 3ˣ로 나눈다는 발상을 떠올리지 못하는 경우.
3²ˣ − 3 · 3ˣ + 1 = 0에서 3ˣ로 나누면 3ˣ − 3 + 3⁻ˣ = 0 → 대칭식이 즉시 나옵니다.
실수 ③ 제곱을 반복하면서 중간항 +2를 한 번이라도 빠뜨리는 경우.
(A + B)² = A² + 2AB + B², AB = 1이므로 매번 +2가 나옵니다.
💡 꿀팁 – 지수방정식 → 대칭식 추출 패턴
3²ˣ ± k · 3ˣ + 1 = 0 꼴의 방정식은 반드시 양변을 3ˣ로 나누세요!
① 3ˣ + 3⁻ˣ = k (또는 3ˣ − 3⁻ˣ = k) 형태로 정리
② 제곱하면 9ˣ + 9⁻ˣ = k² − 2
③ 다시 제곱하면 81ˣ + 81⁻ˣ = (k² − 2)² − 2
이 “연쇄 제곱” 패턴은 96번에서도 등장하는 핵심 전략입니다.