📌 실생활 배터리 충전 문제, 지수함수 개념으로 바로 풀 수 있습니다!
이 문제는 2018년 3월 고3 학력평가 가형 8번 기출로, 배터리 충전 모델 Q(t) = Q₀(1−2^(−t/a))에서 Q(4)/Q(2) = 3/2 조건으로 상수 a를 구합니다. 핵심은 Q(4)/Q(2)를 정리하면 (1−(2^(−2/a))²)/(1−2^(−2/a)) 꼴이 되어 합차공식으로 약분하면 1+2^(−2/a) = 3/2가 되는 것입니다. 2^(−2/a) = 1/2 = 2⁻¹이므로 −2/a = −1, 즉 a = 2. 정답은 ② 2입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 57번 · TOUGH · 2018.03 고3학평 가형 8번)
최대 충전 용량 Q₀ (Q₀ > 0)인 배터리를 완전히 방전시킨 후 t시간 동안 충전한 배터리의 충전 용량이 Q(t) = Q₀(1−2^(−t/a)) (a는 양의 상수)일 때, Q(4)/Q(2) = 3/2를 만족하는 a의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ②입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
a > 0에서 0 < 2^(−2/a) < 1이므로 1−2^(−2/a) > 0
Q(4)/Q(2) = Q₀(1−2^(−4/a)) / Q₀(1−2^(−2/a))
= (1−(2^(−2/a))²) / (1−2^(−2/a))
= (1−2^(−2/a))(1+2^(−2/a)) / (1−2^(−2/a))
= 1+2^(−2/a)
Q(4)/Q(2) = 3/2에서 1+2^(−2/a) = 3/2
∴ 2^(−2/a) = 1/2 = 2⁻¹
따라서 −2/a = −1이므로 a = 2
∴ 정답: ② 2
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① Q(4)에서 2^(−4/a)를 (2^(−2/a))²으로 인식하지 못하는 경우.
−4/a = 2×(−2/a)이므로 2^(−4/a) = (2^(−2/a))²입니다. 이 관계가 합차공식 적용의 열쇠입니다.
실수 ② 분자 1−t²를 (1−t)(1+t)로 인수분해하는 것을 떠올리지 못하는 경우.
t = 2^(−2/a)로 치환하면 분자 = 1−t², 분모 = 1−t이므로 약분 = 1+t입니다.
실수 ③ 2^(−2/a) = 2⁻¹에서 지수 비교 시 부호 실수.
−2/a = −1이므로 a = 2입니다. 부호를 빠뜨리면 a = −2가 되어 조건 a > 0에 모순됩니다.
💡 꿀팁 – 실생활 지수함수 문제 접근법
실생활 맥락(배터리, 인구, 반감기 등)의 지수함수 문제는 항상 같은 패턴입니다.
① 주어진 함수에 구체적인 수를 대입하여 Q(4), Q(2) 등을 구한다
② 조건식(비율, 차이 등)을 세우고 공통 상수(Q₀ 등)를 약분한다
③ 남은 지수식을 치환 또는 인수분해로 정리한다
④ 지수 비교로 미지수를 구한다
이 문제에서는 ②에서 Q₀가 약분되고, ③에서 합차공식으로 1+t 꼴이 나오는 것이 핵심입니다.