📌 1/(n(n+1))을 부분분수로 쪼개면 50개 항의 곱이 순식간에 정리됩니다!
이 문제는 지수법칙 + 부분분수 분해를 결합한 최다빈출 왕중요 TOUGH 유형입니다. aₙ = 2^(1/(n(n+1))) 이므로 50개의 곱은 지수를 모두 더하는 것으로 귀결됩니다. 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) 부분분수 분해를 쓰면 합산이 망원급수처럼 앞뒤 항이 상쇄되어 결국 1 − 1/51 = 50/51 이 남습니다. 정답은 ③ 101입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 26번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH)
자연수 n에 대하여 aₙ = 2^(1/(n(n+1)))일 때, a₁ × a₂ × a₃ × … × a₅₀ = 2^(p/q)를 만족하는 p, q에 대하여 p+q의 값을 구하는 문제입니다. (단, p, q는 서로소인 자연수) 정답은 ③입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
a₁ × a₂ × … × a₅₀
= 2^(1/(1×2)) × 2^(1/(2×3)) × … × 2^(1/(50×51))
= 2^(1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(50×51))
1/(A×B) = 1/(B−A) × (1/A − 1/B) 이므로 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)
합산:
(1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/50 − 1/51)
= 1 − 1/51
= 50/51
a₁ × … × a₅₀ = 2^(50/51)
따라서 p = 50, q = 51 (gcd(50,51)=1, 서로소 ✓)
p + q = 50 + 51 = 101
∴ p+q = 101 → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) 임을 떠올리지 못하고 50개 항을 직접 더하려는 경우.
이 부분분수 분해가 이 문제의 핵심이자 유일한 아이디어입니다.
실수 ② 망원급수 합산 후 1 − 1/51 = 50/51이 아닌 49/51로 잘못 계산하는 경우.
첫 항이 (1 − 1/2)이고 마지막이 (1/50 − 1/51)이므로 최종 남는 값은 1 − 1/51 = 50/51 입니다.
실수 ③ 50과 51이 서로소인지 확인하지 않고 p=50, q=51로 그냥 답하는 경우.
50 = 2×5², 51 = 3×17 로 공약수가 1뿐이므로 서로소 조건을 만족합니다.
💡 꿀팁 – 지수의 합 + 부분분수 망원급수 패턴
aⁿ의 곱 → 지수의 합 → 1/(n(n+1)) 꼴의 합 → 부분분수 → 망원급수
이 4단계 흐름은 수능·내신에서 반복 출제되는 핵심 패턴입니다.
1/(n(n+1)) 외에도 1/(n(n+2)), 1/((2n−1)(2n+1)) 등 다양한 변형이 출제되니
1/(A×B) = 1/(B−A) × (1/A − 1/B) 공식을 완벽히 익혀두세요.