📌 지수의 합이 2(ab+bc+ca)가 된다는 것을 눈치챘나요? 그게 이 문제의 전부입니다!
이 문제는 지수법칙 정리 + 항등식(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) 적용의 TOUGH 유형입니다. (2^a)^(b+c) × (2^b)^(c+a) × (2^c)^(a+b) 를 전개하면 지수의 합이 2(ab+bc+ca)가 됩니다. 여기에 a²+b²+c² = 12, (a+b+c)² = 10 조건을 연립하면 ab+bc+ca를 구할 수 있습니다. 정답은 ② 1/4입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 25번 · TOUGH)
실수 a, b, c에 대하여 a²+b²+c²=12, a+b+c=√10일 때, (2^a)^(b+c) × (2^b)^(c+a) × (2^c)^(a+b)의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ②입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(2^a)^(b+c) × (2^b)^(c+a) × (2^c)^(a+b)
= 2^(ab+ac) × 2^(bc+ba) × 2^(ca+cb)
= 2^(ab+ac+bc+ba+ca+cb)
= 2^(2(ab+bc+ca))
a²+b²+c² = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca) 이므로
12 = (√10)² − 2(ab+bc+ca)
12 = 10 − 2(ab+bc+ca)
2(ab+bc+ca) = 10 − 12 = −2
2^(2(ab+bc+ca)) = 2^(−2) = 1/4
∴ 정답: ② 1/4
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 지수 전개 시 ab+ac+bc+ba+ca+cb를 한 번만 세어 ab+bc+ca로 처리하는 오류.
전개하면 각 항이 2번씩 나오므로 2(ab+bc+ca)가 맞습니다.
실수 ② (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) 공식에서 2를 빠뜨리는 경우.
혼동하지 않도록 a²+b²+c² = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca) 형태로 암기하세요.
실수 ③ (√10)² = 10 임을 계산하지 않고 √10을 그대로 두는 경우.
a+b+c = √10 이므로 (a+b+c)² = (√10)² = 10 입니다.
💡 꿀팁 – 지수식 + 대칭식 조건 공략법
지수식을 전개했을 때 지수가 ab+bc+ca 형태로 나오면,
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) 공식을 즉시 떠올려야 합니다.
① 지수법칙으로 식을 정리 → 지수가 대칭식인지 확인.
② 주어진 조건(합, 제곱합)을 대입해 ab+bc+ca 계산.
③ 2^(−2) = 1/4 처럼 지수에 음수가 나와도 당황하지 말고 역수로 변환.
이 패턴은 TOUGH 지수 문제에서 반복 출제됩니다.