📌 a⁵=3 조건 하나로 복잡한 지수식이 깔끔하게 정리됩니다!
이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾸고 지수법칙으로 지수를 합산하는 최다빈출 왕중요 유형입니다. 3의 5제곱근 중 실수인 것이 a이므로 a⁵ = 3, 즉 a = 3^(1/5) 임을 이용합니다. 복잡해 보이는 분수 지수들을 통분해서 더하면 결국 a^(1/2) = 3^(1/10) = ¹⁰√3 = √3 이 됩니다. 정답은 ① √3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 22번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL)
3의 5제곱근 중 실수인 것을 a라고 할 때,
(a^(−√2/4))^(√2/2) ÷ a^(1/4) × a³의 값을 구하는 문제입니다.
a⁵ = 3 관계를 이용해 모든 지수를 정리하는 것이 핵심입니다.
정답은 ①입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
3의 5제곱근 중 실수인 것이 a이므로 a⁵ = 3
즉 a = 3^(1/5)
(a^(−√2/4))^(√2/2) ÷ a^(1/4) × a³
= a^(−√2/4 × √2/2) ÷ a^(1/4) × a³
= a^(−2/8) ÷ a^(1/4) × a³
= a^(−1/4) ÷ a^(1/4) × a³
= a^(−1/4 − 1/4 + 3)
= a^(−1/2 + 3)
= a^(5/2)
a^(5/2) = (a⁵)^(1/2) = 3^(1/2) = √3
∴ 정답: ① √3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (a^(−√2/4))^(√2/2) 에서 −√2/4 × √2/2를 계산할 때 √2×√2=2임을 놓치는 경우.
√2 × √2 = 2 이므로 −√2/4 × √2/2 = −2/8 = −1/4 입니다.
실수 ② 지수 합산 단계에서 나눗셈을 덧셈으로 처리하는 오류.
a^p ÷ a^q = a^(p−q) 임을 주의하세요. −1/4 − 1/4 = −1/2 입니다.
실수 ③ a^(5/2) 에서 a⁵ = 3 을 바로 못 떠올리는 경우.
a^(5/2) = (a⁵)^(1/2) 로 묶어서 a⁵ = 3을 대입하면 간단히 풀립니다.
💡 꿀팁 – “aⁿ = k 주어진 지수식” 유형 공략법
이 유형의 핵심은 주어진 조건(aⁿ=k)을 최대한 늦게 사용하는 것입니다.
① 먼저 지수법칙으로 식 전체를 a의 단일 지수 형태로 정리.
② 지수를 분자·분모 모두 n의 배수가 되도록 변형. (예: a^(5/2) = (a⁵)^(1/2))
③ aⁿ = k 를 대입해 숫자로 변환.
이 3단계를 반복하면 어떤 복잡한 지수식도 반드시 정리됩니다.