📌 n이 홀수이면 무조건 f(n)=1이라고 외우셨나요? 이 문제에서 짝수 구간 처리를 빠뜨리면 오답입니다!
이 문제는 2023년 10월 고3 학력평가 9번 기출로, 마플시너지 대수 10번에 수록된 [TOUGH] 수능형 문제입니다. n²−16n+48의 n제곱근 중 실수인 것의 개수 f(n)을 n=2부터 10까지 구해 합산하는 유형입니다. n의 홀짝 조건과 이차식의 부호를 꼼꼼히 따져 f(n) 값 표를 완성하는 것이 핵심입니다. 정답은 ① 7입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 10번 · 2023.10 고3학평 9번)
자연수 n(n ≥ 2)에 대하여 n²−16n+48의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 f(n)이라 할 때,
f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9)+f(10)의 값을 구하는 문제입니다.
n을 각각 대입해 이차식의 부호와 홀짝을 동시에 판단해야 하며, 정답은 ① 7입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
n이 홀수이면 n²−16n+48의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 항상 1개입니다 (음수든 양수든 0이든 무관).
따라서 f(3)=f(5)=f(7)=f(9)=1
n이 짝수이면 n²−16n+48의 부호에 따라 실수근 개수가 달라집니다.
n²−16n+48 = (n−4)(n−12)
∴ (n−4)(n−12) > 0 ⟺ n < 4 또는 n > 12 → 짝수 범위에서: n=2, (14, 16…)
(n−4)(n−12) = 0 ⟺ n=4 또는 n=12
(n−4)(n−12) < 0 ⟺ 4 < n < 12 → 짝수: n=6, 8, 10
① n=2: n²−16n+48 = 4−32+48 = 20 > 0 → f(2) = 2
② n=4: n²−16n+48 = 16−64+48 = 0 → f(4) = 1 (유일한 실수근: 0)
③ n=6: n²−16n+48 = 36−96+48 = −12 < 0 → f(6) = 0
④ n=8: 64−128+48 = −16 < 0 → f(8) = 0
⑤ n=10: 100−160+48 = −12 < 0 → f(10) = 0
f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9)+f(10)
= 2+1+1+1+0+1+0+1+0
= 7
∴ f(2)+···+f(10) = 7 → 정답: ①
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① n이 짝수이고 a = 0일 때 f(n) = 0이라고 착각하는 경우.
xⁿ = 0의 유일한 실수 해는 x = 0이므로 f(4) = 1임을 주의하세요.
실수 ② n이 짝수이고 a > 0이면 실수근이 ⁿ√a 하나뿐이라는 오류.
양수 a의 짝수 제곱근은 양·음 두 실수근(+ⁿ√a, −ⁿ√a)이 존재하므로 f(n) = 2입니다. n=2에서 f(2)=2임을 확인하세요.
실수 ③ 이차식의 부호를 계산 없이 n=4, n=12 경계 안쪽/바깥쪽을 반대로 적용하는 경우.
반드시 (n−4)(n−12) 인수분해 후 부호표로 확인하는 습관을 들이세요.
💡 꿀팁 – f(n) 값 빠른 정리표 (이 유형 공통)
a = 이차식의 값이라 할 때:
n 홀수 → f(n) = 항상 1 (a의 부호 무관)
n 짝수, a > 0 → f(n) = 2
n 짝수, a = 0 → f(n) = 1
n 짝수, a < 0 → f(n) = 0
이 표와 이차식 인수분해를 결합하면 n을 일일이 대입할 필요 없이 구간별로 f(n)을 즉시 결정할 수 있습니다.