쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
522번 · \(f(\alpha)=f(\beta)=\alpha\beta\), \(f(0)=6\) 조건으로 \(f(-1)\) 결정
— \(f(x)+6=a(x-\alpha)(x-\beta)\) 설정 후 \(f(0)\)으로 \(a\) 결정!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (미지계수 포함 이차식 결정)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 αβ=−6 → f(x)+6=a(x−α)(x−β) → f(0)+6=−6a=12 → a=−2
- 📐 f(x)=−2(x²+2x−6)−6=−2x²−4x+6 → f(−1)=8
- ⚠️ a=1로 가정하지 말 것! f(0)=6 조건으로 a 결정 필수
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+2x-6=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
이차식 \(f(x)\)가 \(f(\alpha)=f(\beta)=\alpha\beta\)이고 \(f(0)=6\)을 만족시킵니다.
\(f(-1)\)의 값을 구하는 문제입니다.
🗝️ 핵심: 최고차계수 a가 미정!
\(f(x)-\alpha\beta=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이므로:
\[f(x)-\alpha\beta = a(x-\alpha)(x-\beta) \quad (a\neq0)\]
→ \(f(0)=6\) 조건으로 \(a\)를 결정해야 합니다!
\(f(x)-\alpha\beta=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이므로:
\[f(x)-\alpha\beta = a(x-\alpha)(x-\beta) \quad (a\neq0)\]
→ \(f(0)=6\) 조건으로 \(a\)를 결정해야 합니다!
✏️ 단계별 풀이
1
αβ 값 결정
\(x^2+2x-6=0\)에서 \(\alpha\beta=-6\)
\(x^2+2x-6=0\)에서 \(\alpha\beta=-6\)
2
f(x)+6 설정
\(f(\alpha)+6=0\), \(f(\beta)+6=0\)이므로 \(f(x)+6=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\):
\[f(x)+6 = a(x-\alpha)(x-\beta) = a(x^2+2x-6) \quad (a\neq0)\]
\(f(\alpha)+6=0\), \(f(\beta)+6=0\)이므로 \(f(x)+6=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\):
\[f(x)+6 = a(x-\alpha)(x-\beta) = a(x^2+2x-6) \quad (a\neq0)\]
3
f(0)=6으로 a 결정
\(f(0)+6=a(0+0-6)=-6a\)
\(f(0)=6\)이므로 \(6+6=12=-6a \implies a=-2\)
\(f(0)+6=a(0+0-6)=-6a\)
\(f(0)=6\)이므로 \(6+6=12=-6a \implies a=-2\)
4
f(x) 결정 및 f(−1) 계산
\[f(x)+6 = -2(x^2+2x-6)\] \[f(x) = -2x^2-4x+12-6 = -2x^2-4x+6\] \[f(-1) = -2(1)+4+6 = -2+4+6 = 8\]
\[f(x)+6 = -2(x^2+2x-6)\] \[f(x) = -2x^2-4x+12-6 = -2x^2-4x+6\] \[f(-1) = -2(1)+4+6 = -2+4+6 = 8\]
정답 : \(f(-1)=8\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(f(\alpha)=f(\beta)=k\) + 추가 조건으로 이차식 완전 결정
① \(f(x)-k = a(x-\alpha)(x-\beta)\) (a 미정)
② \((x-\alpha)(x-\beta)\)는 \(\alpha, \beta\)의 방정식에서 직접 사용
③ 추가 조건 (여기서는 \(f(0)=6\))으로 \(a\) 결정
④ \(f(x)\) 완전 결정 → 원하는 함수값 계산
① \(f(x)-k = a(x-\alpha)(x-\beta)\) (a 미정)
② \((x-\alpha)(x-\beta)\)는 \(\alpha, \beta\)의 방정식에서 직접 사용
③ 추가 조건 (여기서는 \(f(0)=6\))으로 \(a\) 결정
④ \(f(x)\) 완전 결정 → 원하는 함수값 계산
⚠️ 이런 실수 조심!
- a=1이라고 가정하는 실수 — x²의 계수가 지정되지 않았으면 a는 미정수! f(0) 조건으로 a를 구해야 합니다.
- f(x)+6=a(x²+2x−6)에서 f(0)+6을 계산할 때 x=0 대입: a(0+0−6)=−6a 확인
- f(x)=−2x²−4x+6에서 f(−1)=−2(1)−4(−1)+6=−2+4+6=8 부호 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
