쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
539번 · \(\frac{1}{\alpha_n+1}+\frac{1}{\beta_n+1}=\frac{6}{n+3}\) 도출 → \(n=1,2,3\) 합산 → \(p+q=47\) 서술형
— 통분 후 \(\alpha_n+\beta_n\), \(\alpha_n\beta_n\) 대입 → \(6/(n+3)\)으로 간소화!
🔥 C단계✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (분수식 간소화 + 급수 계산 서술형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 αₙ+βₙ=6n+16, αₙβₙ=n²−8
- 📐 1/(αₙ+1)+1/(βₙ+1)=(αₙ+βₙ+2)/(αₙβₙ+αₙ+βₙ+1)=(6n+18)/(n²+6n+9)=6/(n+3)
- 🎯 n=1: 6/4=3/2, n=2: 6/5, n=3: 6/6=1 → 합=3/2+6/5+1=37/10 → p+q=47
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
자연수 \(n\)에 대하여 이차방정식 \(x^2-(6n+16)x+n^2-8=0\)의 두 근을 \(\alpha_n\), \(\beta_n\)이라 할 때,
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{3}\left(\frac{1}{\alpha_n+1}+\frac{1}{\beta_n+1}\right)=\frac{q}{p}\)이고 \(p\), \(q\)가 서로소인 자연수일 때
\(p+q\)를 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\[\alpha_n+\beta_n=6n+16, \quad \alpha_n\beta_n=n^2-8\]
\[\alpha_n+\beta_n=6n+16, \quad \alpha_n\beta_n=n^2-8\]
2
분수식 통분 및 간소화
\[\frac{1}{\alpha_n+1}+\frac{1}{\beta_n+1}=\frac{(\alpha_n+1)+(\beta_n+1)}{(\alpha_n+1)(\beta_n+1)}\] 분자: \(\alpha_n+\beta_n+2=6n+18=6(n+3)\)
분모: \(\alpha_n\beta_n+(\alpha_n+\beta_n)+1=(n^2-8)+(6n+16)+1=n^2+6n+9=(n+3)^2\)
\[\therefore\frac{1}{\alpha_n+1}+\frac{1}{\beta_n+1}=\frac{6(n+3)}{(n+3)^2}=\frac{6}{n+3}\]
\[\frac{1}{\alpha_n+1}+\frac{1}{\beta_n+1}=\frac{(\alpha_n+1)+(\beta_n+1)}{(\alpha_n+1)(\beta_n+1)}\] 분자: \(\alpha_n+\beta_n+2=6n+18=6(n+3)\)
분모: \(\alpha_n\beta_n+(\alpha_n+\beta_n)+1=(n^2-8)+(6n+16)+1=n^2+6n+9=(n+3)^2\)
\[\therefore\frac{1}{\alpha_n+1}+\frac{1}{\beta_n+1}=\frac{6(n+3)}{(n+3)^2}=\frac{6}{n+3}\]
3
n=1, 2, 3에서 합 계산
\[n=1:\;\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \quad n=2:\;\frac{6}{5}, \quad n=3:\;\frac{6}{6}=1\] \[\text{합}=\frac{3}{2}+\frac{6}{5}+1=\frac{15}{10}+\frac{12}{10}+\frac{10}{10}=\frac{37}{10}\]
\[n=1:\;\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \quad n=2:\;\frac{6}{5}, \quad n=3:\;\frac{6}{6}=1\] \[\text{합}=\frac{3}{2}+\frac{6}{5}+1=\frac{15}{10}+\frac{12}{10}+\frac{10}{10}=\frac{37}{10}\]
4
p, q 결정 및 최종 답
\(p=10\), \(q=37\) (서로소 확인: gcd(10,37)=1 ✓)
\[p+q=10+37=47\]
\(p=10\), \(q=37\) (서로소 확인: gcd(10,37)=1 ✓)
\[p+q=10+37=47\]
정답 : \(p+q=47\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① αₙ+βₙ=6n+16, αₙβₙ=n²−8 도출 (2점)
② 분자 분모 각각 계산: 6(n+3), (n+3)² (2점)
③ 1/(αₙ+1)+1/(βₙ+1)=6/(n+3) 정리 (2점)
④ n=1,2,3 대입 후 합=37/10 (2점)
⑤ p=10, q=37, p+q=47 (1점)
② 분자 분모 각각 계산: 6(n+3), (n+3)² (2점)
③ 1/(αₙ+1)+1/(βₙ+1)=6/(n+3) 정리 (2점)
④ n=1,2,3 대입 후 합=37/10 (2점)
⑤ p=10, q=37, p+q=47 (1점)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 분모: (αₙ+1)(βₙ+1)=αₙβₙ+αₙ+βₙ+1 전개 — +1 빠뜨리는 실수!
- n²+6n+9=(n+3)²임을 인식 — 인수분해로 6/(n+3) 도출!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
