쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
498번 · \((\alpha-\beta)^2 < 20\) 만족하는 자연수 \(a, b\) 구하기
— \((\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)로 변환 → 부등식 → 자연수 범위!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (부등식 조건 + 자연수 범위 탐색)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 (α−β)² = (α+β)²−4αβ 공식 적용
- 📐 16a²+4b−4 < 20 → 4a²+b < 6 → 자연수 (a,b) 조합 탐색
- ⚠️ 자연수 조건: a≥1, b≥1 — 이것을 빠뜨리면 오답!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+4ax-b+1=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여
\((\alpha-\beta)^2 < 20\)을 만족하는 자연수 \(a\), \(b\)를 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 공식
\[(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta\]
\[(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta\]
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta = -4a\), \quad \(\alpha\beta = -b+1\)
\(\alpha+\beta = -4a\), \quad \(\alpha\beta = -b+1\)
2
(α−β)² 계산
\[(\alpha-\beta)^2 = (-4a)^2 – 4(-b+1) = 16a^2+4b-4\]
\[(\alpha-\beta)^2 = (-4a)^2 – 4(-b+1) = 16a^2+4b-4\]
3
부등식 정리
\[16a^2+4b-4 < 20 \implies 16a^2+4b < 24 \implies 4a^2+b < 6\]
\[16a^2+4b-4 < 20 \implies 16a^2+4b < 24 \implies 4a^2+b < 6\]
4
자연수 (a, b) 탐색
a, b는 자연수이므로 a≥1, b≥1
a=1이면: \(4+b < 6 \implies b < 2\) → b=1 ✅
a=2이면: \(16+b < 6\) → 불가능 ❌
따라서 a=1, b=1
a, b는 자연수이므로 a≥1, b≥1
a=1이면: \(4+b < 6 \implies b < 2\) → b=1 ✅
a=2이면: \(16+b < 6\) → 불가능 ❌
따라서 a=1, b=1
정답 : \(a=1,\; b=1\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
“자연수 조건 + 부등식” 탐색 루틴
① (α−β)² 부등식을 a, b에 대한 식으로 정리
② 자연수 최솟값 a=1부터 대입해 b의 범위 확인
③ b도 자연수(b≥1) 조건 동시에 만족하는 쌍 선택
a가 커질수록 4a²가 급격히 커지므로 탐색 범위가 좁습니다!
① (α−β)² 부등식을 a, b에 대한 식으로 정리
② 자연수 최솟값 a=1부터 대입해 b의 범위 확인
③ b도 자연수(b≥1) 조건 동시에 만족하는 쌍 선택
a가 커질수록 4a²가 급격히 커지므로 탐색 범위가 좁습니다!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 자연수 조건(a≥1, b≥1)을 무시하고 정수 일반으로 푸는 실수
- (α−β)² 계산 시 −4αβ에서 αβ=−b+1 대입 부호 실수 — −4(−b+1)=4b−4입니다.
- a=1일 때 b의 범위 확인 후 끝내지 않고 a=0도 확인하려는 실수 — 자연수이므로 a≥1!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
