쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
491번 · 두 수를 근으로 하는 이차방정식 구성
— 새 두 근의 합·곱을 원래 α, β로 표현!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (새 이차방정식 구성 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 새 두 근의 합 = (α+2)+(β+2), 새 두 근의 곱 = (α+2)(β+2)
- 📐 근과 계수의 관계로 새 이차방정식 계수 결정
- ⚠️ x²의 계수는 반드시 1(또는 최솟값 정수)로 정규화
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+3x-2=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
\(\alpha+2\), \(\beta+2\)를 두 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제입니다.
🗝️ 풀이 전략
새 두 근: \(\alpha+2\), \(\beta+2\)
새 두 근의 합 = \((\alpha+2)+(\beta+2) = (\alpha+\beta)+4\)
새 두 근의 곱 = \((\alpha+2)(\beta+2) = \alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4\)
새 두 근: \(\alpha+2\), \(\beta+2\)
새 두 근의 합 = \((\alpha+2)+(\beta+2) = (\alpha+\beta)+4\)
새 두 근의 곱 = \((\alpha+2)(\beta+2) = \alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4\)
✏️ 단계별 풀이
1
원래 근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=-3\), \(\quad\alpha\beta=-2\)
\(\alpha+\beta=-3\), \(\quad\alpha\beta=-2\)
2
새 두 근의 합·곱 계산
합: \((-3)+4=1\)
곱: \(-2+2(-3)+4=-2-6+4=-4\)
합: \((-3)+4=1\)
곱: \(-2+2(-3)+4=-2-6+4=-4\)
3
새 이차방정식 구성
\[x^2-(\text{합})x+(\text{곱})=0\] \[x^2-x-4=0\]
\[x^2-(\text{합})x+(\text{곱})=0\] \[x^2-x-4=0\]
정답 : \(x^2-x-4=0\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
새 이차방정식 구성 공식
두 근 \(p\), \(q\)를 근으로 하는 이차방정식: \(x^2-(p+q)x+pq=0\)
두 근 \(p\), \(q\)를 근으로 하는 이차방정식: \(x^2-(p+q)x+pq=0\)
| 새 두 근 | 합 | 곱 |
|---|---|---|
| α+k, β+k | (α+β)+2k | αβ+k(α+β)+k² |
| kα, kβ | k(α+β) | k²αβ |
| 1/α, 1/β | (α+β)/αβ | 1/αβ |
| α², β² | (α+β)²-2αβ | (αβ)² |
⚠️ 이런 실수 조심!
- 새 이차방정식을 x²+(합)x+(곱)=0으로 쓰는 실수 — x²-(합)x+(곱)=0 입니다! 합 앞에 빼기!
- 원래 방정식의 α+β, αβ 부호 실수 — x²+3x-2=0에서 α+β=-3, αβ=-2.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
🖼️ 교재 해설 이미지
