쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
462번 · 정사각형 내 정삼각형 \(PBQ\) — \(\overline{AP}\) 구하기
— RHS 합동 → 정삼각형 조건(\(PQ=PB\)) → 이차방정식
난이도 : 상
✍️ 서술형
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (합동 + 이차방정식 연계 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 △ABP≅△CBQ (RHS 합동) 성립 이유
- 📐 정삼각형 조건 \(PQ^2=PB^2\)에서 이차방정식 세우기
- ✍️ 서술형 답안 필수 포함 내용
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
한 변의 길이가 2인 정사각형 \(ABCD\)에서 변 \(AD\)와 \(CD\) 위에 각각 점 \(P\), \(Q\)를 잡아 정삼각형 \(PBQ\)를 만들 때, 선분 \(\overline{AP}\)의 길이를 구하는 서술형 문제입니다.
💡 풀이 흐름
Step 1. \(AP=x\)로 놓으면 합동 조건에서 \(CQ=x\), \(PD=QD=2-x\)
Step 2. 피타고라스 정리로 \(PQ^2\)과 \(PB^2\) 표현
Step 3. 정삼각형 조건 \(PQ=PB\)에서 이차방정식 세우기
Step 1. \(AP=x\)로 놓으면 합동 조건에서 \(CQ=x\), \(PD=QD=2-x\)
Step 2. 피타고라스 정리로 \(PQ^2\)과 \(PB^2\) 표현
Step 3. 정삼각형 조건 \(PQ=PB\)에서 이차방정식 세우기
🔑 △ABP ≅ △CBQ (RHS 합동) 성립 이유
▸ \(AB=CB=2\) (정사각형의 변)
▸ \(\angle A = \angle C = 90°\) (정사각형의 내각)
▸ \(PB=QB\) (정삼각형의 변)
→ RHS 합동 ∴ \(AP=CQ=x\), \(PD=QD=2-x\)
▸ \(AB=CB=2\) (정사각형의 변)
▸ \(\angle A = \angle C = 90°\) (정사각형의 내각)
▸ \(PB=QB\) (정삼각형의 변)
→ RHS 합동 ∴ \(AP=CQ=x\), \(PD=QD=2-x\)
✏️ 단계별 풀이
1
각 선분의 길이 표현
\(AP = CQ = x\), \(PD = QD = 2-x\) (단, \(0 < x < 2\))
\(AP = CQ = x\), \(PD = QD = 2-x\) (단, \(0 < x < 2\))
2
피타고라스로 \(PQ^2\), \(PB^2\) 계산
\(\triangle PDQ\)에서: \(PQ^2 = (2-x)^2 + (2-x)^2 = 2(2-x)^2\)
\(\triangle ABP\)에서: \(PB^2 = x^2 + 4\)
\(\triangle PDQ\)에서: \(PQ^2 = (2-x)^2 + (2-x)^2 = 2(2-x)^2\)
\(\triangle ABP\)에서: \(PB^2 = x^2 + 4\)
3
정삼각형 조건 \(PQ^2=PB^2\) 적용
\[2(2-x)^2 = x^2+4\] \[2(4-4x+x^2) = x^2+4\] \[8-8x+2x^2 = x^2+4\] \[x^2-8x+4=0\] \[x = \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2} = 4\pm 2\sqrt{3}\]
\[2(2-x)^2 = x^2+4\] \[2(4-4x+x^2) = x^2+4\] \[8-8x+2x^2 = x^2+4\] \[x^2-8x+4=0\] \[x = \frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2} = 4\pm 2\sqrt{3}\]
4
범위 조건으로 정답 선택
\(0 < x < 2\) 이므로 \(x=4+2\sqrt{3} \approx 7.46\) 제외 ❌
\(x=4-2\sqrt{3} \approx 0.54\) ✅
\(0 < x < 2\) 이므로 \(x=4+2\sqrt{3} \approx 7.46\) 제외 ❌
\(x=4-2\sqrt{3} \approx 0.54\) ✅
정답 : \(\overline{AP} = 4 – 2\sqrt{3}\)
✍️ 서술형 답안 작성 포인트
① RHS 합동 조건 명시 (빗변 동일, 직각 동일)
② \(AP=CQ=x\), \(PD=QD=2-x\) 설정 근거 서술
③ 피타고라스 정리로 \(PQ^2\), \(PB^2\) 표현 과정 서술
④ \(PQ^2=PB^2\) 조건 → 이차방정식 전개 과정
⑤ 범위 조건 \(0 < x < 2\)로 최종 값 선택 명시
② \(AP=CQ=x\), \(PD=QD=2-x\) 설정 근거 서술
③ 피타고라스 정리로 \(PQ^2\), \(PB^2\) 표현 과정 서술
④ \(PQ^2=PB^2\) 조건 → 이차방정식 전개 과정
⑤ 범위 조건 \(0 < x < 2\)로 최종 값 선택 명시
🧠 외워두면 좋은 패턴
정사각형 내 정삼각형 문제 접근법
① 대칭성을 이용해 합동 삼각형 찾기 (RHS, SAS, ASA 중 적용)
② 합동에서 변의 길이를 하나의 미지수로 통일
③ 특수한 도형 조건(정삼각형, 직각삼각형)을 방정식으로 변환
④ 범위 조건으로 유효한 근 선택
① 대칭성을 이용해 합동 삼각형 찾기 (RHS, SAS, ASA 중 적용)
② 합동에서 변의 길이를 하나의 미지수로 통일
③ 특수한 도형 조건(정삼각형, 직각삼각형)을 방정식으로 변환
④ 범위 조건으로 유효한 근 선택
⚠️ 이런 실수 조심!
- 합동을 이용하지 않고 \(AP\neq CQ\)로 두 개의 미지수를 설정 — 합동 조건이 핵심 단서입니다.
- \(PQ^2\)을 계산할 때 \(\triangle PDQ\)에서 피타고라스를 적용하지 않는 실수 — \(PD=QD=2-x\)이므로 \(PQ^2=2(2-x)^2\).
- 두 근 중 범위를 벗어나는 \(4+2\sqrt{3}\) 선택 — \(0 < x < 2\) 조건으로 반드시 걸러냅니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 서술형
6분
수능·모의고사
4분
⚡ 합동 조건을 빠르게 파악하는 것이 시간의 핵심입니다. 정사각형 문제에서 대칭 조건 → RHS 합동 패턴을 반사적으로 떠올리는 훈련을 하세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
