미정계수법
계수 비교법 · 수치 대입법 — 미지의 계수를 구하는 두 가지 방법
1. 미정계수법이란?
항등식의 뜻이나 성질을 써서 등식에 포함된 미지의 계수를 정하는 방법을 미정계수법이라 합니다. 미정계수법에는 계수 비교법과 수치 대입법의 2가지가 있습니다.
같다는 항등식의 성질을 이용하여 양변의 동류항의
계수를 비교하여 미정계수를 구한다.
(2) 수치 대입법: 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도
성립한다는 항등식의 뜻을 이용하여 미정계수의
개수만큼 적당한 수를 대입하여 미정계수를 구한다.
2. 두 방법 비교 예제
‘미정(未定)계수’란 아직 값이 정해지지 않은 계수를 뜻합니다. 등식 2x+a=bx−1이 x에 대한 항등식일 때, 미정계수 a, b를 구하는 방법을 계수 비교법과 수치 대입법으로 알아봅시다.
항등식의 성질에 의하여 양변의 동류항의 계수, 즉 x의 계수와 상수항이 각각 같아야 하므로
2=b, a=−1 ∴ a=−1, b=2
항등식의 뜻에 의하여 x에 어떤 값을 대입해도 등식은 성립하므로 양변에 x=0, x=1을 각각 대입하면
x=0 대입: a=−1
x=1 대입: 2+a=b−1 → 2+(−1)=b−1 ∴ b=2
∴ a=−1, b=2
계수 비교의 원리 → 양변의 동류항의 계수가 서로 같다.
수치 대입의 원리 → 문자에 어떤 값을 대입해도 등식이 성립한다.
‘x에 대한 항등식’이면 x만 문자로 봅니다. 수치 대입법을 사용할 때에는 미정계수의 개수만큼 x의 값을 대입합니다. 이때 계산이 간단한 식을 얻을 수 있는 x의 값을 택합니다.
자주 틀리는 포인트
미정계수가 2개면 2개의 서로 다른 값을 대입해야 합니다. 1개만 대입하면 식이 부족합니다!
계수 비교법을 쓰려면 양변을 먼저 x에 대하여 정리한 후 같은 차수끼리 비교해야 합니다.
미정계수법은 항등식에서만 사용 가능합니다. 방정식에서는 사용할 수 없습니다!
확인 문제
등식 a(x−2)+b(x+1)=x−5가 x의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 a, b의 값을 계수 비교법과 수치 대입법으로 각각 구하시오.
(a+b)x−2a+b=x−5
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
a+b=1, −2a+b=−5
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=−1
② 수치 대입법: 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=−1을 대입하면 −3a=−6 ∴ a=2
양변에 x=2를 대입하면 3b=−3 ∴ b=−1