📝 핵심 요약 (Key Points)
- 단항식 vs 다항식: 곱으로만 이루어지면 단항식, 합으로 연결되면 다항식
- 차수(Degree): 문자가 곱해진 횟수 (기준 문자가 중요!)
- 계수(Coefficient): 기준 문자를 제외한 나머지 부분
고등수학(상)의 첫 단원인 다항식의 연산입니다. 중등 과정과 비슷해 보이지만, ‘어떤 문자에 대하여’ 식을 보느냐에 따라 차수와 계수가 달라진다는 점이 핵심입니다.
1. 단항식과 다항식의 정의
식의 형태를 보고 이름을 정확히 부를 수 있어야 합니다.
- 단항식(Monomial): 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식
(예: $10, 2x, x^2y, -\frac{3}{2}ab^3$) - 다항식(Polynomial): 하나 이상의 단항식의 합으로 이루어진 식
(예: $2x + x^2y, x+y-3$)
문자가 분모에 있거나($\frac{1}{x}$), 근호 안에 있는 경우($\sqrt{x}$)는 다항식이 아닙니다.
2. 다항식의 구성 요소 (용어 정리)
다항식 $3x^2 + 8x + x + 5$를 예시로 각 부분의 명칭을 알아봅시다.
| 항 (Term) | 다항식을 이루고 있는 각각의 단항식 (부호 포함) |
|---|---|
| 상수항 (Constant) | 특정한 문자를 포함하지 않는, 숫자만 있는 항 |
| 계수 (Coefficient) | 항에서 ‘특정한 문자’를 제외한 나머지 부분 |
| 동류항 (Like Terms) | 문자와 차수가 모두 같은 항 (덧셈, 뺄셈 계산 가능) |
3. 핵심: 차수와 계수의 결정 (중요!)
고등수학에서는 “주인공(기준) 문자가 무엇이냐”에 따라 해석이 완전히 달라집니다. 아래 예시를 꼭 이해해야 합니다.
🔎 예제 분석: $-2a^2bx^3$
이 단 하나의 식도 기준에 따라 다음과 같이 바뀝니다.
- $x$에 대하여:
- 차수: 3차 ($x$가 3번 곱해짐)
- 계수: $-2a^2b$ ($x^3$을 뺀 나머지 전부)
- $a$에 대하여:
- 차수: 2차 ($a$가 2번 곱해짐)
- 계수: $-2bx^3$ ($a^2$을 뺀 나머지 전부)
- $a, b, x$ 전체에 대하여:
- 차수: $2+1+3 = $ 6차
- 계수: $-2$ (문자를 제외한 숫자)
4. 개념 확인 문제 (Concept Check)
제공된 개념사전의 예제를 통해 이해도를 점검해 보세요. 문제를 먼저 풀고 정답을 확인하세요.
Q1. 단항식 $3x^3yz^2$ 에 대하여 다음을 구하시오.
- $z$에 대한 차수와 계수
- $x$에 대한 차수와 계수
🔽 정답 및 풀이 확인하기
(1) $z$에 대하여
– 차수: $2$ (z가 2개)
– 계수: $3x^3y$ (나머지)
(2) $x$에 대하여
– 차수: $3$ (x가 3개)
– 계수: $3yz^2$ (나머지)
Q2. 다항식 $2x^3 – x^2y – 3y^3 – 1$ 에 대하여 다음을 구하시오.
- $x$에 대한 이차항
- $y$에 대한 이 다항식의 차수
🔽 정답 및 풀이 확인하기
(1) $x$에 대한 이차항
$x$가 두 번 곱해진 항을 찾습니다.
👉 정답: $-x^2y$ (부호 주의!)
(2) $y$에 대한 차수
$y$의 지수가 가장 높은 항은 $-3y^3$입니다.
👉 정답: 3
📚 다음 강의 예고
다음 시간에는 다항식을 깔끔하게 정리하는 기술인
오름차순과 내림차순 정리 방법에 대해 알아보겠습니다.