문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
[그림1]의 f'(x)는 x=−1, x=1에서 x축을 지나는 이차함수이므로 f'(x)=a(x+1)(x−1)=a(x²−1). 지나는 점 (0, −3)을 대입하면 −3=−a → a=3, f'(x)=3x²−3. 그래프에서 x절편은 곧 인수, 지나는 한 점은 최고차 계수 a를 결정한다. 이 2스텝이 도함수 그래프 문제의 공식이다.
◀ x절편 = 인수, 지나는 점 = 최고차 계수 결정
f(x)=∫(3x²−3)dx=x³−3x+C. 여기서 C가 미지수로 남는데, 이 C를 넓이 조건으로 결정하는 게 이 문제의 설계다. 도함수만으로는 그래프의 상하 위치(=C)가 정해지지 않는다는 걸 반드시 기억하라. C를 0으로 지우고 넘어가면 답이 안 나온다.
◀ 부정적분의 C는 아직 안 정해진 ‘그래프의 세로 위치’다
[그림2]에서 x축 아래 영역과 위 영역의 넓이가 같으면, 부호까지 더한 정적분은 서로 상쇄되어 ∫04 f(x)dx=0. 이 한 줄이 C를 결정한다. [¼x⁴−(3/2)x²+Cx]04=64−24+4C=0 → C=−10. ‘넓이=넓이’로 쓰면 절댓값이 껴서 복잡해지니 곧바로 정적분=0으로 번역하라.
◀ 넓이 같음 = 정적분 0 (절댓값을 벗기는 최강 스킬)
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : y=f'(x) 그래프를 인수분해 꼴로 읽어(x절편=인수) f'(x)=3x²−3을 세우고, 적분해 f(x)=x³−3x+C로 복원한다. 남은 C는 ‘두 영역 넓이가 같다’를 정적분=0으로 번역해 결정한다. 도함수 그래프 → 부정적분 → 넓이조건 순의 3단 콤보다.
실수 포인트 ① : ‘넓이가 같다’를 두 넓이를 각각 절댓값으로 구해 등호로 놓다가 계산이 폭발하는 실수. ∫04 f(x)dx=0 한 줄이면 끝난다.
실수 포인트 ② : 부정적분에서 C를 빼먹고 f(x)=x³−3x로 확정해버리는 실수. C가 이 문제의 미지수다.
실수 포인트 ③ : 64−24+4C=0에서 산술 실수로 C를 틀리는 실수. C=−10, f(x)=x³−3x−10이므로 f(1)=1−3−10=−12.
정답 : ② (f(1)=−12)