문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x→1에서 분모 x²−1→0. 극한값이 3으로 존재하려면 분자 ∫1xf(t)dt−f(x)도 →0이어야 한다. x=1을 넣으면 ∫11f(t)dt−f(1)=−f(1)=0. 즉 f(1)=0을 공짜로 얻는다. 이 값을 못 뽑으면 뒤가 안 풀린다.
◀ 0/0 세팅에서는 f(1)부터 뽑는 게 1번
분모를 (x−1)(x+1)로 인수분해하면 1/(x+1)은 x→1에서 1/2로 먼저 빠져나온다. 남은 (x−1)이 미분계수 정의의 분모가 된다. 분자는 ∫1xf(t)dt와 −{f(x)−f(1)}로 갈라라(f(1)=0이라 −f(x)=−{f(x)−f(1)}).
◀ (x−1)을 만들면 곧 미분계수가 튀어나온다
∫1xf(t)dt/(x−1) → f(1)=0, (f(x)−f(1))/(x−1) → f'(1). 여기에 각각 ×1/2 하면 0/2 − f'(1)/2 = −f'(1)/2 = 3. 따라서 f'(1)=−6.
◀ 정적분→f(1), 함수차→f'(1)로 역할을 나눠라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 두 단계다. ① 분모→0·극한 존재라는 상황에서 분자→0을 강제해 f(1)=0을 먼저 확보한다. ② 분모 x²−1을 (x−1)(x+1)로 쪼개 (x−1)을 미분계수 정의의 분모로 쓰고, 분자를 정적분 조각과 함수차 조각으로 갈라 각각 f(1)과 f'(1)의 정의로 읽는다. 두 정의를 한 식에 동시에 심는 게 이 유형의 뼈대다.
실수 포인트 ① : 분자→0 조건을 안 쓰고 바로 뭉개려다 f(1)을 못 구하는 실수. 0/0 꼴에서 f(1)=0을 뽑는 게 모든 계산의 출발점이다.
실수 포인트 ② : 1/(x+1)이 x→1에서 1/2로 빠지는 걸 빼먹고 f'(1)로 바로 답하는 실수. 반드시 ×1/2를 곱해야 한다.
실수 포인트 ③ : 부호를 놓쳐 f'(1)=6으로 답하는 실수. 분자의 −f(x) 때문에 결과가 −f'(1)/2=3, 즉 f'(1)=−6이다.
정답 : ① (−6)