문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x축으로 2, y축으로 1 평행이동 ⇒ g(x)=f(x−2)+1. 평행이동은 반드시 식으로 못박아라. 그래야 ∫27 g = ∫27 f(x−2)dx + ∫27 1dx 로 상수부분이 깔끔하게 분리된다.
◀ ‘오른쪽 a · 위 b 이동’ = f(x−a)+b
∫27 1dx = 7−2 = 5. 상수 1을 적분하면 구간 길이가 그대로 넓이가 된다. 이제 진짜 승부처는 ∫27 f(x−2)dx 하나뿐이다.
◀ ∫ 상수 c dx = c × (구간 길이)
(다) f(x+2)=f(x)이므로 f(x−2)=f(x) → ∫27 f(x−2) = ∫27 f. 게다가 (가) 기함수라 ∫−11 f=0, 즉 모든 한 주기 적분이 0. ∫27 f = ∫23 + ∫35 + ∫57 에서 뒤 둘은 각 한 주기라 0, 앞 ∫23 f = ∫01 f = 1/4. 결국 ∫27 g = 1/4 + 5 = 21/4.
◀ 기함수 × 주기함수 → 한 주기 적분은 0
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 평행이동을 g(x)=f(x−2)+1로 식화한 뒤, 상수 +1은 넓이(구간 길이)로, f(x−2)는 주기성으로 나눠서 처리한다. 두 갈래로 쪼개는 순간 문제가 반으로 접힌다.
실수 포인트 ① : ‘위로 1’ 이동을 적분에 더하지 않고 빼먹는 실수. 구간 [2,7]에서 +1은 +5를 만든다.
실수 포인트 ② : 기함수라고 ∫27 f 전체를 0으로 처리하는 실수. 한 주기 단위여야 0이다. [2,3]은 반주기라 0이 아니라 1/4.
실수 포인트 ③ : ∫23 f를 ∫01 f로 옮길 때 주기 2 이동을 놓쳐 값을 틀리는 실수. 주기만큼 밀면 적분값은 그대로다.
정답 : ② (21/4)