문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
2x³+6x²+a=0을 2x³+6x²=−a로 정리한다. −2≤x≤2에서 실근 개수는 곡선 y=2x³+6x²과 수평선 y=−a의 교점 개수와 같다. 정수 a를 세기 전에 −a를 하나의 수평선 높이로 보는 것이 먼저다.
◀ 구간이 제한돼도 상수 분리 스킬은 그대로 통한다
f'(x)=6x(x+2)이라 극댓값 f(−2)=8, 극솟값 f(0)=0. 여기서 멈추면 안 되고 구간 끝 f(2)=40까지 찍어야 그래프가 완성된다. 개형은 (−2,8)에서 내려와 (0,0) 바닥을 찍고 (2,40)까지 치솟는 골짜기 모양이다. 끝값을 빼면 교점 수가 어긋난다.
◀ 제한구간 문제의 90%는 끝값 누락에서 틀린다
서로 다른 두 점에서 만나려면 0<−a≤8 (극솟값 0 초과, 극댓값 8 이하). 부등호를 뒤집으면 −8≤a<0. 정수 a는 −8, −7, …, −1로 8개. 경계 등호(0 초과 vs 8 이하)를 그래프에서 하나씩 확인하는 게 핵심이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘제한된 구간에서 두 실근’이라는 조건은 2x³+6x²=−a로 상수를 분리해 곡선 y=2x³+6x²과 수평선 y=−a의 교점 문제로 바꾼다. −2≤x≤2 구간의 그래프는 극댓값 f(−2)=8, 극솟값 f(0)=0, 끝값 f(2)=40이므로 골짜기 모양. 수평선이 이 골짜기를 정확히 두 번 자르는 높이 범위를 찾으면 된다.
실수 포인트 ① : 구간 끝값 f(2)=40을 빠뜨리는 실수. 제한구간 문제는 극값만으로 개형이 끝나지 않는다. 양 끝점 함숫값을 반드시 표에 넣어야 오른쪽으로 치솟는 가지를 정확히 그릴 수 있다.
실수 포인트 ② : 두 실근 조건을 0≤−a<8로 잘못 잡는 실수. 극솟값 0에서는 교점이 1개(바닥 접점)뿐이라 −a=0은 제외, 극댓값 8에서는 왼쪽 끝점까지 포함해 2개라 −a=8은 포함. 그래서 0<−a≤8이다.
실수 포인트 ③ : 부등호를 −a에서 a로 뒤집을 때 방향을 놓치는 실수. 0<−a≤8을 a로 바꾸면 −8≤a<0. 정수 a는 −8부터 −1까지 8개이다.
정답 : ③ (8개)