문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)가 실수 전체에서 미분가능 ⇔ 경계 x=3에서 ① 연속이고 ② 좌·우 미분계수가 같다. 이 두 조건이 곧 두 방정식이 되어 미지수 a, b를 하나씩 잡아준다. ‘미분가능’이라는 한 단어를 항상 ‘연속 + 매끄러움’ 두 장의 카드로 쪼개는 습관을 들여라.
◀ 미분가능 = 연속 AND 미분계수 일치, 둘 다 챙겨라
x<3에선 g=b−f(x)라 g′=−f′(x), x≥3에선 g=f(x)라 g′=f′(x). x=3에서 좌미분 −f′(3)과 우미분 f′(3)이 같아야 하므로 −f′(3)=f′(3) → f′(3)=0. f′(x)=3x²−12x+a에서 27−36+a=0 → a=9. 이어 연속조건 b−f(3)=f(3)로 f(3)=b/2, f(3)=10이니 b=20.
◀ 부호만 반대인 두 조각의 이음매는 거의 항상 ‘경계 f′=0’
a=9, b=20이 잡히면 x<3에서 g′=−3(x−1)(x−3), x≥3에서 g′=3(x−1)(x−3). 증감을 보면 x=1에서 g′가 −에서 +로 바뀌어 극소, x=3은 부호가 안 바뀌어 극값이 아니다. 따라서 극솟값 g(1)=−1+6−9+10=6.
◀ 극값 후보라도 g′ 부호 변화가 없으면 탈락
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘실수 전체에서 미분가능’은 경계 x=3에서 연속(a, b 관계식)과 미분계수 일치(f′(3)=0)를 동시에 준다. f′(3)=0으로 a=9, 이어 연속 f(3)=b/2로 b=20. f, g가 완성되면 각 구간의 g′를 인수분해해 부호로 극값을 찾는다.
실수 포인트 ① : 연속만 챙기고 미분계수 일치를 빠뜨려 a를 못 구하는 실수. 미분가능은 조건 두 개다.
실수 포인트 ② : x=3도 g′=0이니 극값이라 착각하는 실수. x=3 근처에서 g′는 계속 양수(부호 안 바뀜)라 극값이 아니다.
실수 포인트 ③ : 극솟값을 x좌표 1로 답하는 실수. 문제는 극’솟값'(y값)을 물었으니 g(1)=6이 답이다.
정답 : 6