문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
삼차함수 f는 f(1)=f(4)=0이라 x축과 만난다. |f|가 x=4에서 꺾이지 않고 매끈하게 x축에 닿는다는 건 f'(4)=0이라는 뜻 → x=4는 단순근이 아니라 중근이다.
◀ |f| 미분가능한 근 = f가 x축에 접하는 중근
최고차 계수를 a(>0)라 하면 x=1은 단순근, x=4는 중근이므로 f(x)=a(x−1)(x−4)². ‘1에서 관통, 4에서 접함, 양수 계수’ 세 조건이 그대로 인수분해된 식으로 번역된다.
◀ 접하는 근은 제곱, 관통하는 근은 1제곱
f(2)=a·(1)·(−2)²=4a, f(6)=a·(5)·(2)²=20a. 따라서 f(6)/f(2)=20a/4a=5. 비를 물으면 최고차 계수는 항상 약분되니 a값을 구하려 애쓰지 마라.
◀ f(6)/f(2)=20a/4a=5
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |f|의 미분가능/불가능은 ‘x축을 접하느냐 관통하느냐’로 판정한다. x=4에서 미분가능 → 접함 → 중근. f(1)=0(관통)과 합쳐 f=a(x−1)(x−4)²로 식을 복원하는 게 열쇠다.
실수 포인트 ① : x=1까지 중근으로 놓는 실수. 미분가능 조건이 붙은 건 x=4뿐, x=1은 단순근이다.
실수 포인트 ② : a값을 구하려고 조건을 더 찾는 실수. 비를 물었으므로 a는 약분된다.
실수 포인트 ③ : 대입할 때 (−2)²=4 같은 제곱을 놓치는 실수. 부호·제곱을 놓치면 값이 어긋난다.
정답 : 5