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조건 (가) ‘작은 구간 (a−½, a+½)의 모든 x에서 f(x)≤f(a)’는 그냥 x=a가 그 근방에서 최댓값 = 극대라는 정의다. 그래프도 안 그리고 f′(x)=0인 점 중 f′가 +→−로 바뀌는 곳(x=−2, x=1)을 극대로 바로 집으면 A={−2, 1}. 조건 (나)는 부등호만 반대라 극소 → B={−3, −1, 2}.
◀ 낯선 부등식은 극대·극소의 정의를 위장한 것
조건 (다)의 마지막 ‘lim[f(c+h)−f(c)]/h가 존재한다’는 x=c에서 미분가능하라는 뜻. f′ 그래프에서 x=−2, x=2는 값이 뚝 끊기는(점프하는) 속 빈 원이라 그 점에서 f는 미분불가능. f는 연속이어도 f′가 끊기면 꺾인 점이다. 그래서 극점이어도 −2, 2는 C에서 탈락.
◀ f 연속 ≠ f 미분가능, f′에 점프가 있으면 미분불가능
조건 (다) 앞부분 ‘x₁<c<x₂이면 f′(x₁)f′(x₂)<0’은 c를 기준으로 f′가 부호를 바꾼다는 뜻, 곧 c가 극대 또는 극소. 여기에 미분가능(HINT 2) 조건을 곱하면 C={극점이면서 미분가능한 점}={−3, −1, 1}. 결국 n(A)+n(B)+n(C)=2+3+3=8.
◀ 이 문제의 출제 포인트: 세 조건 = 극대·극소·미분가능의 번역
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 이 문제는 계산이 거의 없다. 세 조건 (가)(나)(다)가 각각 극대의 정의, 극소의 정의, ‘극점이면서 미분가능’을 낯선 부등식·극한 표현으로 위장한 것임을 꿰뚫으면 끝난다. f′ 그래프에서 f′=0이고 부호가 바뀌는 점(−3, −2, −1, 1, 2)을 후보로 잡고, 그중 속 빈 원(미분불가능)인 −2, 2를 C에서만 제외한다.
실수 포인트 ① : 조건 (다)의 극한식을 실제로 계산하려는 실수. 저 극한은 ‘미분계수가 존재한다=미분가능’을 뜻하는 정의식일 뿐, 값을 구하는 게 아니다.
실수 포인트 ② : A(극대)와 B(극소)를 반대로 넣는 실수. (가)는 f(x)≤f(a)라 f(a)가 최대=극대, (나)는 f(x)≥f(b)라 f(b)가 최소=극소. 부등호 방향으로 구분하라.
실수 포인트 ③ : C에서 미분가능 조건을 잊고 극점 전부를 넣는 실수. −2, 2는 f′ 그래프가 끊겨 미분불가능이므로 제외. C={−3, −1, 1}로 n(C)=3.
정답 : ⑤ (n(A)+n(B)+n(C)=2+3+3=8)