문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
극대(+→−): x=−2에서 5, x=1에서 5. 극소(−→+): x=0에서 2. 그런데 x=3은 f'(x)=0인데 부호가 −0−. 부호가 안 바뀌므로 극값이 아니라 수평변곡점(안장점)이다. 양끝 f’ 부호로 개형을 완성하면 왼쪽 −∞에서 올라와 봉우리 두 개(5, 5) 사이 골 하나(2), 오른쪽은 x=3을 평평하게 스치며 −∞로 내려간다.
◀ 개형 없이 보기부터 손대면 반드시 어딘가에서 부호가 뒤집힌다
이 문제의 핵심은 x=3의 함정이다. f'(3)=0이지만 앞뒤가 모두 −(감소)라 봉우리도 골도 아닌 그냥 평평한 통과점. 따라서 극값은 5, 5, 2 세 개뿐이고 합은 5+5+2=12(보기 ㄱ의 11은 거짓). x=3의 −1은 극값이 아니라 지나가는 점이다.
◀ 극값 판정은 f’=0이 아니라 ‘f’ 부호가 바뀌는가’로 한다
y=0(x축)과는 왼쪽 상승부에서 음근 1개, x=1 이후 하강부(5→−1)에서 양근 1개뿐(ㄴ 참). y=5는 두 극대점 x=−2, x=1에서 접하므로 서로 다른 실근은 −2, 1(ㄹ 참). f(x)−a=0의 실근은 개형상 최대 4개(2<a<5)라 ‘ㄷ 최대 5개’는 거짓. 6차라고 6개를 넘겨짚지 마라.
◀ 실근 개수는 방정식이 아니라 ‘수평선과 그래프의 교점’으로 눈으로 센다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 증감표 문제는 개형 스케치가 전부다. 극대(+→−)·극소(−→+)를 찍고, 부호가 안 바뀌는 f’=0점(x=3, −0−)은 극값이 아닌 수평변곡점임을 캐치하는 것이 이 문제의 함정이다. 이후 보기는 그린 그래프에 y=0, y=a, y=5 수평선을 그어 교점 개수 세기로 전부 환원된다.
실수 포인트 ① : x=3에서 f’=0이니 극값이라 착각하는 실수. −0−라 부호가 안 바뀌어 극값이 아니다. 극값 합은 5+5+2=12이므로 ㄱ(11)은 거짓.
실수 포인트 ② : ‘ㄷ 6차니까 최대 6개’로 넘겨짚는 실수. 실제 개형에서 수평선 최대 교점은 4개(2<a<5)라 ‘최대 5개’는 거짓.
실수 포인트 ③ : ㄹ에서 접점(중근)을 실근이 아니라고 하거나 4개로 세는 실수. y=5는 x=−2, x=1에서 접하므로 서로 다른 실근은 −2, 1 두 개(참).
실수 포인트 ④ : ㄴ을 차수만 보고 근이 많다고 넘겨짚는 실수. y=0과는 음근 1·양근 1, 딱 두 개만 만난다(참). 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ.
정답 : ④ (ㄴ, ㄹ)