문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가) limx→0 f(x)/x=−15. 분모→0인데 극한이 존재하니 분자도 0, 즉 f(0)=0이라 상수항 d=0. 그러면 f(x)/x=(f(x)−f(0))/(x−0)이 되어 x→0 극한은 정확히 f′(0)이다. 따라서 f′(0)=−15, 일차항 계수 c=−15가 한 방에 잡힌다.
◀ 분모가 x면 x=0에서의 미분계수 정의로 즉시 변신
극값 조건은 언제나 정보 두 개다. 기울기가 0이라는 f′(1)=0과, 그 지점의 함숫값 f(1)=−8. 남은 미지수 a, b가 두 개니 방정식 두 개면 완결된다. 3a+2b=15, a+b=7을 연립하면 a=1, b=6 → f(x)=x³+6x²−15x.
◀ 극값 조건은 '기울기 0 + 함숫값' 세트로 뜯어라
f′(x)=3x²+12x−15=3(x+5)(x−1)이므로 극대는 x=−5, 극소는 x=1. 문제는 극소 x=1을 알려줬지만 요구한 답은 극댓값이므로 반드시 x=−5를 대입한다. f(−5)=−125+150+75=100.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 분모가 x인 극한 limx→0 f(x)/x는 'f(0)=0을 강제 → f′(0) 정의로 변신'이라는 2단 콤보다. 이 한 줄로 상수항 d=0과 일차항 c=−15를 동시에 확보해 미지수를 a, b 두 개로 줄인다. 나머지는 극값 조건 두 식으로 연립하면 함수식이 확정된다.
실수 포인트 ① : (가)에서 분자→0을 놓치고 그냥 대입해 0/0에서 멈추는 실수. 분모→0 & 극한 존재면 분자→0이 자동으로 따라온다.
실수 포인트 ② : f′(1)=0만 쓰고 f(1)=−8을 빠뜨리는 실수. 극값은 기울기 0과 함숫값 두 정보를 항상 함께 준다.
실수 포인트 ③ : 극댓값을 물었는데 준 극점 x=1(극소)을 대입하는 실수. 극대는 x=−5다.
정답 : 100