문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy−1에 x=0, y=0을 넣으면 f(0)=f(0)+f(0)−1. 정리하면 f(0)=1. 조건식 하나에 미지수가 여럿이면, 가장 만만한 (0,0)부터 찔러 넣어 상수 하나를 확보하는 게 정석이다.
◀ 함수방정식 = 반사적으로 (0,0) 대입해 f(0) 확보
f'(x)=limh→0[f(x+h)−f(x)]/h 의 f(x+h) 자리에 조건식을 그대로 대입하면 f(x)가 약분돼 사라지고, 남은 [f(h)−1]/h + 2x = [f(h)−f(0)]/h + 2x. 이게 곧 f'(x)=2x+f'(0). 함수방정식형 도함수는 항상 이 정의 대입으로 식을 만든다.
◀ f(x+h) 자리에 조건식 통째로 대입 → f(x) 약분 → 도함수 완성
limx→1[f(x)−f'(x)]/(x²−1)=14에서 분모 x²−1→0. 극한값이 유한하게 존재하려면 분자도 0으로 가야 한다. 즉 f(1)−f'(1)=0 → f(1)=f'(1). 그리고 ㉠에 x=1을 넣으면 f'(1)=2+f'(0). 이 ‘분자→0’ 조건이 미정계수를 잡는 열쇠다.
◀ (분모→0) + (극한 존재) = (분자→0) 자동 성립
분자를 {f(x)−f(1)} − {f'(x)−f'(1)}로 쪼갠다. 앞은 f(x)−f(1)/(x−1) × 1/(x+1)로 f'(1)×½. 뒤는 f'(x)−f'(1)=2(x−1)이라 (x−1) 약분돼 lim 2/(x+1)=1. 정리하면 ½f'(1)−1=14 → f'(1)=30 → f'(0)=30−2=28.
◀ 미분계수의 정의 꼴 [f(x)−f(1)]/(x−1)을 억지로 만들어 약분
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 이 문제는 세 개의 스킬이 순서대로 물린다. ① 함수방정식 → (0,0) 대입으로 f(0) 확보, ② 미분계수 정의에 조건식을 갈아 끼워 f'(x) 식 완성, ③ 분모→0인데 극한이 존재한다는 문장을 “분자→0″으로 번역. 이 세 단계가 손에 붙어 있으면 겉보기만 험할 뿐 계산은 일사천리다.
실수 포인트 ① : f'(x)를 세울 때 f(x+h)에 조건식을 넣는 걸 잊고 단순히 f(x)를 미분하려다 막히는 실수. 조건식이 있으면 정의로 돌아가 조건식을 대입하는 게 원칙이다.
실수 포인트 ② : “극한값이 14로 존재” → “분자→0″이라는 연결을 놓치는 실수. 분모가 0으로 가는데 극한이 유한하면 분자는 무조건 0이라는 걸 조건으로 써먹어야 한다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 구한 게 f'(1)=30인데 이걸 답으로 적는 실수. 문제가 묻는 건 f'(0)이다. f'(1)=2+f'(0)에서 f'(0)=28로 한 번 더 내려와야 한다.
정답 : 28