문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→k+[f(x)−f(k)]/(x−k)는 x=k에서의 우미분계수, limx→k−…는 좌미분계수다. 이 둘의 차가 6(≠0)이라는 건 x=k에서 미분불가능하다는 뜻 = 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라는 뜻이다.
◀ 미분계수 정의극한의 좌·우 차이 ≠ 0 = 미분불가능 신호
f(x)=a|x−2|의 그래프는 x=2를 꼭짓점으로 하는 V(또는 ∧)자다. 꺾여서 미분이 안 되는 곳은 꼭짓점 x=2 오직 하나. 좌·우 미분계수가 다른 점을 찾으라는 건 곧 이 꼭짓점을 찾으라는 것이므로 k=2.
◀ 절댓값 함수에서 미분불가능한 점 = 꼭짓점 하나
x=2 기준 도함수는 왼쪽 −a, 오른쪽 +a. 그래서 우미분−좌미분 = a−(−a) = 2a. 이게 6이므로 a=3. 그러면 f(x)=3|x−2|이고, 구하는 값은 f(a+k)=f(3+2)=f(5)=3·3=9.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘lim의 차 = 6’이라는 식을 보는 순간 (우미분계수)−(좌미분계수)로 번역해야 한다. 이 차가 0이 아니라는 건 그 점에서 미분이 안 된다는 뜻이고, 절댓값 함수에서 미분 안 되는 곳은 꼭짓점 하나뿐이라 k=2가 곧바로 나온다. 이어서 |x−2|의 좌·우 기울기 차가 2a임을 쓰면 a=3, 마지막에 f(a+k)=f(5)=9로 마무리된다.
실수 포인트 ① : 두 극한을 함숫값으로 착각. 이건 기울기(미분계수)이지 f(k) 자체가 아니다. 정의식 [f(x)−f(k)]/(x−k)의 극한임을 놓치지 말 것.
실수 포인트 ② : 2a=6에서 a를 6으로 두는 실수. a=3이다.
실수 포인트 ③ : 마지막 대입에서 a와 k를 뒤바꾸는 실수. a=3, k=2이므로 a+k=5, f(5)=3·|5−2|=9.
정답 : f(a+k)=9