마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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일등급01-1 함수의 극한 함수의 극한
9Q(3)=−9, k=9/8, 8k=9
이차식으로 나눈 나머지는 R(x)=ax+b 로 놓으세요 그러면 분자 f(x)−R(x) 는 (x−3)²Q(x) 로 바뀐다.개념 카드 · 0 아닌 극한값의 미정계수 「(분자)→0 이고 극한 ≠ 0 ⇒ (분모)→0」
해설 STEP A 처럼 f(x)를 이차식 (x−3)² 으로 나누었으니 나머지 R(x)는 일차 이하인 ax+b 다. 그러면 분자 f(x)−R(x) 는 (x−3)²Q(x) 로 바뀌어 x→3 에서 0 으로 간다. 분모 f(x)+x² 도 (x−3)²Q(x)+x²+ax+b 로 적어 두면 식 ㉠ 이 완성되고, Q(x)를 몰라도 극한을 다룰 수 있다.◀ 나머지는 나누는 식보다 차수가 낮다
분자가 0 으로 가는데 극한이 0 이 아닌 k 이므로 분모도 0 으로 가야 하고, x=3 을 넣은 9+3a+b=0 에서 b=−3a−9 를 얻는다. 해설 STEP A 의 파란 주석처럼 x²+ax−3a−9 를 (x−3)²+(a+6)(x−3) 으로 고쳐 쓴다. a+6≠0 이면 분모는 (x−3) 을 한 번만 가져 극한이 0 이 되므로 a+6=0 이어야 한다. 따라서 a=−6, b=9 다.◀ 분모도 (x−3)² 을 가져야 극한이 0 이 아니다
a=−6, b=9 이면 R(x)=−6x+9 이고 조건 Q(3)=R(3) 에서 Q(3)=−9 다. 해설 STEP B 처럼 분모는 (x−3)²{Q(x)+1} 이 되어 (x−3)² 이 약분되고, 극한은 Q(3)/(Q(3)+1)=−9/(−8)=9/8 이다. 따라서 k=9/8 이고 8k=9 다.◀ 약분 후 남는 것은 Q(3) 하나뿐
발상의 출발점이 문제는 Q(x) 를 직접 몰라도 된다. 나눗셈 f(x)=(x−3)²Q(x)+R(x) 로 분자를 (x−3)²Q(x) 로 바꾸면, 극한값이 0 이 아닌 k 라는 조건이 분모의 모양을 강하게 묶는다. 분모가 0 으로 가야 할 뿐 아니라 (x−3)² 까지 인수로 가져야 하므로 R(x) 의 계수가 모두 정해지고, 마지막 조건 Q(3)=R(3) 이 약분 후 남은 Q(3) 의 값을 준다.
실수 포인트 ①나머지 R(x)를 상수나 이차식으로 두는 실수. 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 ax+b 로 놓아야 미지수 개수가 맞는다.
실수 포인트 ②분모→0 조건 9+3a+b=0 만 쓰고 a 를 정하지 못하는 실수. 분자가 (x−3)² 을 가지므로 분모에 (x−3) 이 한 번만 있으면 극한이 0 이 된다 → a+6=0 까지 써야 R(x)=−6x+9 가 나온다.
실수 포인트 ③k 만 구하고 8 을 곱하지 않거나, −9/(−9+1) 의 부호를 틀리는 실수. −9/(−8)=9/8 이므로 k=9/8 이고, 묻는 값은 8k=9 다.
정답 9 (Q(3)=−9, k=9/8, 8k=9)
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