마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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일등급01-1 함수의 극한 함수의 극한
60f(x)=9x²+5x−36, 81+15−36=60
모든 a 중 분모가 0 이 되는 a 만 골라 보세요 (나)는 f 의 차수와 최고차항의 계수를 정해 준다.개념 카드 · 극한 존재 조건과 다항함수 「분모→0 ⇒ 분자→0, ∞−∞꼴은 유리화 후 차수 비교」
조건 (가)의 분모 x²−4 는 a 가 2, −2 가 아니면 0 이 아니어서 극한이 저절로 존재한다. 해설 STEP A 처럼 a=2, a=−2 두 곳에서만 분모→0 이므로 거기서 분자 f(x)−5x 도 0 으로 가야 한다. 그러면 f(2), f(−2) 에 대한 식 두 개 ㉠, ㉡ 이 생긴다.◀ 모든 a 조건 = 분모의 근에서만 분자→0
해설 STEP B 처럼 켤레 √f(x)+3x−1 을 곱하면 분자는 f(x)−(3x−1)², 분모는 √f(x)+3x−1 이 된다. 극한이 존재하려면 분자의 차수가 분모보다 크면 안 된다. f 가 일차 이하이거나 삼차 이상이면 발산하므로(해설 +α 의 (i)(iii)) f 는 이차이고, 분자의 x² 항이 사라지도록 최고차항의 계수가 9 여야 한다.◀ ∞−∞ 유리화 → 분자 차수 ≤ 분모 차수
해설 STEP C 처럼 f(x)=9x²+ax+b 로 놓고 ㉠ f(2)=10, ㉡ f(−2)=−10 을 넣으면 2a+b=−26, −2a+b=−46 이다. 연립하면 a=5, b=−36 이므로 f(x)=9x²+5x−36, f(3)=81+15−36=60. 해설 +α 처럼 f(x)−5x=9(x+2)(x−2) 로 바로 놓으면 연립 없이 끝난다.◀ f(x)−5x=9(x+2)(x−2), 한 줄로 끝
발상의 출발점두 조건의 역할이 다르다. (가)는 ‘모든 실수 a’ 라고 했지만 실제로 의미가 있는 곳은 분모의 근 ±2 뿐이어서 f(2), f(−2) 두 값을 준다. (나)는 √f(x) 와 3x 가 ∞ 에서 맞서는 ∞−∞꼴이므로 유리화해 차수를 비교하면 f 가 최고차항의 계수 9 인 이차함수로 정해진다. 모양(차수·계수)은 (나), 남은 미지수는 (가) — 0184 와 같은 분업 구조다.
실수 포인트 ①(가)의 ‘모든 실수 a’ 를 모든 점에서 분자→0 으로 읽어 f(x)=5x 라고 놓는 실수. 분모가 0 이 되는 a=±2 에서만 분자→0 이 필요하다 → f(2)=10, f(−2)=−10 두 식만 얻는다.
실수 포인트 ②유리화 뒤 √f(x) 의 차수를 f 의 차수 그대로 세는 실수. f 가 이차면 √f(x) 는 일차처럼 커지므로 분모는 일차이고, 분자 f(x)−(3x−1)² 가 일차 이하가 되어야 극한이 존재한다.
실수 포인트 ③최고차항의 계수를 3 으로 두는 실수. √f(x) 가 3x 와 같은 속도로 커지려면 √(9x²)=3x 이므로 x² 의 계수는 3² 인 9 다 → 3 으로 두면 f(3) 이 틀린다.
정답 60 (f(x)=9x²+5x−36, 81+15−36=60)
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