마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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일등급01-1 함수의 극한 함수의 극한
10f(x)=x³−11x²+10x, 0−0+10=10
−11 이 0 아닌 상수이니 f(x)−x³ 을 이차식으로 두세요 마지막 xf(1/x) 는 1/x 을 t 로 바꾸면 f(t)/t 가 된다.개념 카드 · ∞/∞꼴·0/0꼴로 다항식 결정 「차수·최고차계수 → 인수 → 1/x=t 치환」
첫 조건은 x→∞ 이고 분모가 x² 이다. 극한이 0 이 아닌 상수 −11 이므로 해설 STEP A 처럼 f(x)−x³ 은 x² 과 차수가 같고 최고차계수가 −11 이다. 일차항·상수항은 모르므로 a, b 로 두어 f(x)=x³−11x²+ax+b 로 적는다. 이것이 식 ㉠ 이다.◀ ∞극한 상수 = 차수 같음 + 계수 비
둘째 조건 limx→1 f(x)/(x−1)=−9 는 분모가 0 으로 가는데 극한이 있으므로 f(1)=0, 즉 −10+a+b=0 이다. 해설 STEP B 처럼 b=−a+10 을 넣고 조립제법으로 나누면 f(x)=(x−1)(x²−10x+a−10) 이 된다. x−1 을 약분한 뒤 x=1 을 넣으면 a−19=−9 이므로 a=10, b=0 이고 f(x)=x³−11x²+10x 다.◀ 분자→0, 약분, 대입 — 식 두 개로 a, b
해설 STEP C 처럼 f(1/x)=1/x³−11/x²+10/x 에 x 를 곱하면 1/x²−11/x+10 이고, x→∞ 이면 앞의 두 항이 0 으로 가서 10 이 남는다. 아래 +α 처럼 1/x=t 로 두면 t→0+ 이고 f(t)/t=t²−11t+10 이므로 바로 10 이 보인다. 다른 풀이는 f(0)=0 을 이용해 이 값을 f′(0)=10 으로 읽는다.◀ x→∞ 의 1/x 는 t→0+ 로 바꿔라
발상의 출발점두 극한 조건이 역할을 나눈다. x→∞ 조건은 f(x)의 차수와 x² 계수를, x→1 조건은 인수 x−1 과 나머지 계수를 정한다. f(x)를 완성하면 마지막 xf(1/x) 는 1/x 를 t 로 바꾸어 f(t)/t 의 t→0+ 극한이 되고, 상수항이 0 인 f(x) 에서 일차항 계수 10 을 읽는 문제가 된다. 다른 풀이의 미분계수 해석도 같은 값을 준다.
실수 포인트 ①첫 조건에서 f(x)를 −11x² 으로 시작하는 이차함수로 착각하는 실수. 분자가 f(x)−x³ 이므로 f(x)는 x³−11x²+ax+b 인 삼차함수다.
실수 포인트 ②f(1)=0 만 쓰고 미지수 하나가 남은 채 멈추는 실수. 약분한 뒤의 극한값 a−19=−9 까지 써야 a=10, b=0 이 정해진다.
실수 포인트 ③xf(1/x) 에서 x 를 곱하지 않고 f(1/x) 의 극한 0 을 답으로 적는 실수. 1/x 을 x 자리에 넣은 뒤 x 를 곱해 1/x²−11/x+10 으로 정리해야 10 이 나온다.
정답 10 (f(x)=x³−11x²+10x, 0−0+10=10)
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아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중