마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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서술형01-1 함수의 극한 함수의 극한
4f(r)=−r²/(√(4−r²)−2) → √4+2=4
Q 는 두 원의 교점이니 두 원의 방정식을 연립하세요 두 식을 빼면 x², y² 이 한꺼번에 지워진다.개념 카드 · 도형과 함수의 극한 「교점 좌표를 r 의 식으로 → 무리식 0/0꼴은 유리화」
1단계에서 P 는 원 C 와 y축의 교점이므로 반지름 그대로 P(0, r) 이다. Q 는 두 원 x²+y²=r², (x−1)²+y²=1 의 교점이라 해설 STEP A 처럼 ㉠, ㉡ 을 연립한다. 두 식을 빼면 2x=r² 이 되어 x=r²/2 가 먼저 나오고, 이를 ㉠ 에 넣으면 y=r√(4−r²)/2 다. Q 의 y좌표는 양수라는 조건으로 부호를 고른다.◀ 원 두 개 연립은 빼서 일차식으로
2단계는 해설 STEP B 처럼 두 점 P(0, r), Q 를 지나는 직선의 기울기부터 구한다. 기울기는 (r√(4−r²)/2−r)/(r²/2) 이고, 분모·분자에 2 를 곱해 r 로 약분하면 (√(4−r²)−2)/r 이다. y절편이 r 인 이 직선에 y=0 을 넣으면 R 의 x좌표 −r²/(√(4−r²)−2) 가 나온다.◀ x축과의 교점은 y=0 대입
3단계의 f(r)=−r²/(√(4−r²)−2) 는 r→0+ 일 때 분모·분자가 모두 0 으로 간다. 해설 STEP C 처럼 분모·분자에 √(4−r²)+2 를 곱하면 분모가 (4−r²)−4=−r² 이 되어 앞의 − 와 함께 r² 이 약분된다. 남는 √(4−r²)+2 에 r→0 을 넣으면 √4+2=4 다. 원 C 가 한없이 작아질 때 R 은 점 (4, 0) 으로 다가간다.◀ 무리식 0/0 은 켤레를 곱해 약분
발상의 출발점r 이라는 변수 하나가 원 C 의 크기를 정하고, P, Q, R 이 모두 r 을 따라 움직인다. 그래서 1단계에서 P, Q 좌표를 r 의 식으로, 2단계에서 R 의 x좌표를 r 의 식으로 만들어 두면 3단계는 r→0+ 극한 계산 하나로 끝난다. 원이 작아질수록 P, Q 가 원점으로 모여 그림만으로는 R 이 어디로 가는지 보이지 않으므로, 식을 세워 0/0꼴을 유리화하는 것이 핵심이다.
실수 포인트 ①Q 좌표를 구하며 한 식을 y² 에 대해 풀어 복잡하게 대입하다 계산이 꼬이는 실수. 두 원의 방정식을 빼면 x², y² 이 동시에 지워져 x=r²/2 가 바로 나온다.
실수 포인트 ②Q 의 y좌표를 −r√(4−r²)/2 로 잡거나 부호를 따지지 않는 실수. 문제의 ‘P 와 Q 의 y좌표는 양수‘ 조건으로 양의 값을 택해야 직선의 기울기 부호가 맞는다.
실수 포인트 ③3단계에서 r=0 을 바로 넣어 0/0 에서 멈추거나, 유리화 후 분모 (4−r²)−4 의 부호를 놓치는 실수. 분모는 −r² 이므로 앞의 − 와 상쇄되어 극한은 +4 다.
정답 4 (f(r)=−r²/(√(4−r²)−2) → √4+2=4)
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아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중