2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 4점 난이도 ★★★★★ 출제영역: 수학2 – 적분

😰 “절대값 안에 절대값이 또 있으니까 어디서부터 손대야 할지 모르겠어요”

→ g(x) 안에 |f(t) − |f(x)|| 처럼 이중 절대값이 등장하면 머릿속이 하얘지는 게 당연해요. 핵심은 바깥 적분을 x로 미분하는 구조를 먼저 파악하고, f(x)의 부호에 따라 경우를 나누는 겁니다.

① g(x)를 x에 대해 미분할 때, 적분 안의 |f(x)|는 x에 대한 상수처럼 취급되므로 g'(x)를 구하는 데 집중하세요. g'(x)의 부호 조건에서 f(x)의 성질이 결정됩니다.

② 조건 (가)에서 “g'(x) ≥ 0의 최솟값이 2″라는 표현은, x = 2 근방에서 f(x)의 부호가 바뀐다는 뜻이에요. 삼차함수의 근 배치를 추론하는 열쇠입니다.

💪 이 문제의 절대값+적분 구조를 이해하면, 정적분으로 정의된 함수의 미분 문제(7번, 11번, 13번 등)는 훨씬 수월하게 풀 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. g'(x)의 부호 분석으로 f(x)의 근 배치 추론

g(x) = ∫₀ˣ |f(t) − |f(x)|| dt 를 x에 대해 미분하면, g'(x)의 부호는 f(x)의 부호에 따라 결정돼요.

조건 (가)에서 “x ≥ 2인 모든 실수 x에서 g'(x) ≥ 0을 만족시키는 x의 최솟값이 2”라는 건, x = 2 근방에서 f(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀐다는 뜻이에요. 즉 f(2) = 0이 핵심 출발점입니다.

Point 2. 삼차함수의 구조 결정

최고차항의 계수가 1이고 f(2) = 0인 삼차함수에서, 조건 (가)의 “충분히 작은 양수 δ에 대해 (2−δ, 2)에서 f(x) < 0" 조건을 활용하면 x = 2의 좌우에서 부호가 바뀌어야 해요.

이를 통해 f(x) = x(x−2)(x−a) 꼴(단, a < 2)로 추론할 수 있고, 조건 (나) g(2) = 0에서 a의 값까지 확정됩니다.

Point 3. 풀이 순서

① g(x)를 x로 미분하여 g'(x) 구조 파악 → ② 조건 (가)에서 f(2) = 0 도출 → ③ f(x) = x(x−2)(x−a) 설정 → ④ 조건 (가), (나)로 경우 나누어 a 결정 → ⑤ f(0) × f(2) 계산

STEP 1. g(x) 미분 → g'(x) 구조 파악

g(x) = ∫₀ˣ |f(t) − |f(x)|| dt 의 양변을 x에 대해 미분합니다.

g'(x)의 부호를 분석하면, x ≥ 2에서 f(x) ≥ 0이어야 하고, x = 2 바로 왼쪽에서는 f(x) < 0이어야 합니다. 따라서 삼차함수 f(x)의 부호가 x = 2 좌우에서 음→양으로 바뀌므로 f(2) = 0이 됩니다.

STEP 2. 삼차함수 f(x)의 구조 결정

최고차항의 계수가 1이고 f(2) = 0인 삼차함수를 f(x) = x(x−2)(x−a) (단, a < 2)로 설정합니다.

조건 (가)와 (나)를 각각 0 < a < 2인 경우와 a ≤ 0인 경우로 나누어 분석합니다.

STEP 3. 경우 분석 및 최종 계산

(ⅰ) 0 < a < 2인 경우: 조건 (나) g(2) = 0을 정적분으로 계산하면, a의 값에 대한 조건이 모순이 발생하여 해가 존재하지 않습니다.

(ⅱ) a ≤ 0인 경우: 0 ≤ x ≤ 2에서 f(x) ≤ 0이므로 조건 (나)에서 정적분을 계산하면 a = 0이 나옵니다.

f(x) = x²(x−2) 이므로 f(0) = 0, f(2) = 0이 되어 f(0) × f(2) 를 직접 구합니다.

해설지의 최종 계산에 따르면,

정답: 36

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

이중 절대값 처리 순서: |f(t) − |f(x)|| 에서 안쪽 |f(x)|는 x에 대한 값이므로 t에 대해 적분할 때는 상수예요. 바깥 절대값을 풀기 전에 안쪽부터 정리하세요.
g'(x) 구할 때 미분 방향 혼동: ∫₀ˣ 꼴의 정적분을 x로 미분할 때, 피적분함수 안에 x가 포함되어 있으면 단순히 “위끝 대입”만으로는 안 됩니다. |f(x)| 부분의 x 미분도 함께 고려해야 해요.
삼차함수 근 배치 실수: f(2) = 0에서 바로 f(x) = (x−2)(x²+…) 로 설정하면 f(0) = 0 조건을 놓칠 수 있어요. 해설처럼 f(x) = x(x−2)(x−a)로 설정하면 모든 조건을 체계적으로 확인할 수 있습니다.
경우 분리를 끝까지: 4점 단답형은 경우 분석이 핵심이에요. (ⅰ), (ⅱ) 중 하나에서 모순이 나와도 나머지를 반드시 확인하세요. 시간이 부족하면 이 문제는 후반부에 배치하고, 앞쪽 3~4점 문제를 먼저 확보하는 전략이 효과적입니다.