2026년 3월 고3 모의고사 확률과통계 4점 난이도 ★★★★★ 출제영역: 중복조합(배열)

😰 “인접한 곱의 합이 3이라는 조건을 어떻게 해석해야 할지 감이 안 와요”

→ 카드가 -1과 1뿐이라서 인접 곱 aₙ도 -1 또는 1밖에 안 나온다는 걸 놓치는 실수, 그리고 부호 변환 지점의 개수로 문제를 재해석하는 발상이 핵심이에요.

① aₙ = (n번째 카드)×(n+1번째 카드)이고, 카드 값이 ±1이므로 aₙ은 같은 부호면 1, 다른 부호면 -1입니다. Σaₙ=3이면 aₙ=1이 7개, aₙ=-1이 4개예요.

② aₙ=-1인 곳이 “부호가 바뀌는 경계”입니다. 경계 4개가 어디에 오는지를 정하고, 각 구간에 -1과 1 카드를 배분하는 구조로 접근하세요.

💪 이런 “조건 재해석 → 경우 분류” 패턴은 확통 최고난도의 핵심이에요. 이 문제를 소화하면 어떤 30번이 나와도 전략을 세울 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. aₙ의 의미 파악

카드 값이 -1 또는 1이므로, n번째와 (n+1)번째 카드의 곱 aₙ은 같은 값이면 1, 다른 값이면 -1입니다.

따라서 aₙ=-1인 곳은 “부호가 바뀌는 경계”이고, aₙ=1인 곳은 “같은 부호가 연속되는 곳”이에요. 이렇게 해석하면 문제가 훨씬 간단해집니다.

Point 2. Σaₙ=3의 의미

aₙ 11개 중 aₙ=1이 x개, aₙ=-1이 (11-x)개라면 x-(11-x)=3, 즉 x=7.

따라서 부호 변환(경계)이 정확히 4번, 같은 부호 연속이 7번입니다. 12장의 카드가 같은 부호끼리 모인 “블록”으로 나뉘는 구조예요.

Point 3. 풀이 순서

① aₙ의 의미 파악 (같으면 1, 다르면 -1) → ② 경계 4개 → 블록 5개 구조 확정 → ③ -1 카드 6장, 1 카드 6장을 블록에 배분하는 경우 분류 → ④ 각 경우에서 블록 크기 조합(중복조합) 계산 후 합산

STEP 1. aₙ의 성질 파악

카드 값이 -1 또는 1이므로 aₙ = (n번째)×(n+1번째) = 1(같은 값) 또는 -1(다른 값).

Σaₙ(n=1~11) = 3에서, aₙ=1이 7개, aₙ=-1이 4개입니다.

aₙ=-1인 곳이 부호 변환 경계이므로, 12장의 카드는 같은 부호끼리 모인 5개 블록으로 나뉩니다.

STEP 2. 블록 구조와 카드 배분

5개 블록은 교대로 다른 부호가 옵니다. 예: ▲□△□△ (▲=시작 부호 블록, □=반대 부호 블록)

-1 카드 6장과 1 카드 6장을 이 블록 구조에 맞게 배분해야 합니다.

시작이 -1이면 블록 3개에 -1, 2개에 1을 넣고, 시작이 1이면 반대입니다.

STEP 3. 각 경우에서 블록 크기 결정

각 블록의 크기(카드 수)는 1 이상이어야 하므로, 블록 크기를 정하는 것은 “양의 정수의 합 = 6” 형태의 방정식입니다.

이를 중복조합으로 계산합니다. 시작 부호가 -1인 경우와 1인 경우를 각각 구해서 더합니다.

STEP 4. 최종 합산

두 경우(시작 -1, 시작 1)의 경우의 수를 각각 구한 뒤 합하면 최종 답이 나옵니다.

정답: 100

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

aₙ의 의미 오해: aₙ은 “인접한 두 카드의 곱”이지 “합”이 아닙니다. 카드 값이 ±1이므로 aₙ은 같은 부호면 1, 다른 부호면 -1이에요. 이 해석이 모든 풀이의 출발점입니다.
블록 개수 세기 실수: 경계(부호 변환)가 4개이면 블록은 5개입니다. “경계 수 + 1 = 블록 수”를 항상 기억하세요.
시작 부호 경우 누락: 첫 번째 카드가 -1인 경우와 1인 경우를 둘 다 세야 합니다. 한쪽만 계산하고 ×2 하면 될 것 같지만, 블록 3개/2개 배분이 비대칭이므로 반드시 따로 계산하세요.
블록 크기 ≥ 1 조건: 각 블록에 최소 1장이 있어야 하므로, 중복조합 적용 시 치환(xᵢ’ = xᵢ – 1)으로 범위를 음이 아닌 정수로 바꾸는 것을 잊지 마세요.