“
정점을 지나는 직선의 성질에 대한 종합적인 이해를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 직선 l₂를 m에 대해 정리하여 정점의 좌표를 구합니다.
2. (보기 ㄴ) m=-1을 직선 l₂에 대입하여 방정식을 구하고, 직선 l₁과의 기울기 곱이 -1이 되는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선이 제2사분면에서 만나기 위한 기울기 m의 범위를 찾습니다. 이는 정점(l₂가 항상 지나는 점)과 l₁의 x, y절편을 경계로 하여 범위를 구하는 222번 문제와 동일합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선의 활용법(좌표 찾기, 특정 조건 만족, 영역 통과)을 모두 물어보는 문제입니다. 각 보기에서 요구하는 바를 정확히 파악해야 합니다.
”
점과 수직이등분선 사이의 거리
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정점을 지나는 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (4,-6))
2. 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 직사각형의 대각선의 교점(무게중심)을 지나야 합니다.
3. 따라서 1단계에서 구한 정점 (4,-6)이 바로 직사각형 대각선의 교점입니다.
4. 대각선의 교점은 마주보는 두 꼭짓점(A와 C)의 중점과 같습니다. 중점 공식을 이용해 a, b값을 구합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선과 도형의 넓이 이등분 문제가 결합된 유형입니다. 각 도형의 넓이를 이등분하는 점이 어디인지(삼각형: 대변의 중점, 직사각형: 대각선의 교점)를 명확히 알아야 합니다.
”
두 정점을 지나는 직선의 관계 판별
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정점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 152번 문제와 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. 이 정점이 삼각형의 꼭짓점 중 하나(A(2,1))임을 확인합니다.
2. 꼭짓점 A를 지나는 직선이 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하려면, 반드시 대변 BC의 중점 M을 지나야 합니다.
3. 두 점 B, C의 좌표를 이용해 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 직선이 중점 M을 지나야 하므로, M의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
정점을 먼저 찾고, 그 정점이 삼각형의 꼭짓점인지 확인하는 것이 풀이의 첫 단계입니다. 만약 꼭짓점이 아니라면 넓이를 직접 계산해야 하는 복잡한 문제가 됩니다.
”
정점을 지나는 직사각형 넓이 이등분선
“
정점을 지나는 직선이 삼각형과 만나도록 하는 기울기의 최댓값과 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 k를 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (-2,-4))
2. 직선이 삼각형과 만나려면, 그 기울기는 세 꼭짓점 A, B, C를 지날 때의 기울기들 사이에 있어야 합니다.
3. 정점과 세 꼭짓점 A, B, C를 각각 지날 때의 기울기를 모두 구합니다.
4. 구한 세 개의 기울기 값 중 **가장 큰 값이 최댓값(M), 가장 작은 값이 최솟값(m)**이 됩니다.
주의할 점:
직선이 도형과 만나는 문제는, 직선이 그 도형의 ‘꼭짓점’을 지날 때가 항상 경계가 된다는 점을 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
”
정점을 지나는 넓이 이등분선
“
정점을 지나는 직선이 선분과 만나도록 하는 기울기의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (5,1))
2. 직선이 선분 AB와 만나려면, 그 직선은 **점 A를 지날 때와 점 B를 지날 때의 사이**에 위치해야 합니다.
3. 정점과 점 A를 지날 때의 기울기 m값을 구합니다.
4. 정점과 점 B를 지날 때의 기울기 m값을 구합니다.
5. 두 기울기 값의 사이 범위가 바로 구하는 m의 범위가 됩니다.
주의할 점:
‘직선’이 아닌 ‘선분’과 만나는 조건이므로, 양 끝점을 지날 때가 경계가 됩니다. 경계값을 포함하는지(만나도 되는지) 확인하여 부등식을 세워야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 삼각형의 교점
“
두 직선이 특정 사분면에서 만나도록 하는 미지수(기울기)의 범위를 찾는 문제입니다. 정점을 지나는 직선의 활용입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선이 m값에 관계없이 항상 지나는 정점을 먼저 찾습니다. (이 문제에서는 (2,1))
2. 정해진 직선(x-y+4=0)의 그래프를 그리고, 제2사분면 영역을 표시합니다.
3. 정점 (2,1)을 중심으로 직선을 회전시킨다고 생각했을 때, 제2사분면에서 만나기 위한 **경계 지점**을 찾습니다. 경계는 정해진 직선의 x절편(-4,0)과 y절편(0,4)을 지날 때입니다.
4. 두 경계 지점을 지날 때의 기울기 m값을 각각 구하고, 그 사이 범위를 답으로 합니다.
주의할 점:
기울기의 범위를 정할 때, 두 경계값을 포함하는지 여부를 잘 판단해야 합니다. ‘제2사분면’에서 만나려면 축 위에서 만나는 경우는 제외되므로, 등호가 포함되지 않습니다.
”
정점을 지나는 직선과 선분의 교점
“
218번 문제와 동일하게, 두 직선의 교점을 지나고 다른 직선에 평행한 직선의 y절편을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 평행해야 할 직선의 기울기를 구합니다.
3. 1단계의 교점을 지나고 2단계의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 y절편(상수항)을 찾습니다.
주의할 점:
기본적인 개념들을 순서대로 정확하게 적용하는 능력을 묻는 문제입니다. 최종적으로 무엇을 묻는지(y절편) 확인하고 답해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 사분면 교점
“
두 직선의 교점을 지나면서, 그 직선들이 x축과 만나 만드는 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 C의 좌표를 구하고, 각 직선의 x절편 A, B의 좌표를 구합니다.
2. 구하려는 직선은 꼭짓점 C를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분해야 합니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 마주보는 변 AB의 중점을 지나야 합니다.
4. 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
5. 두 점 C와 M을 지나는 직선의 방정식을 구하면 됩니다.
주의할 점:
삼각형의 넓이를 이등분하는 직선이 한 꼭짓점을 지난다는 사실을 파악하면, 대변의 중점을 찾아 두 점을 잇는 직선의 방정식을 구하는 문제로 단순화됩니다.
”
교점과 평행 조건을 이용한 y절편
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두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 수직인 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 수직이어야 할 대상 직선(x+3y-3=0)의 기울기를 구한 뒤, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
218번 문제의 ‘평행’ 조건이 ‘수직’ 조건으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 구조입니다. 평행과 수직의 기울기 관계를 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점을 지나는 넓이 이등분선
“
두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 평행한 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 평행해야 할 대상 직선(2x+y=10)의 기울기를 구합니다. 평행하므로 기울기는 같습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
‘교점을 지난다’는 정보로 직선이 지나는 한 점을, ‘평행하다’는 정보로 직선의 기울기를 얻을 수 있습니다. 두 정보를 조합하여 직선을 완성하는 문제입니다.
”
두 직선 교점과 수직인 직선
