쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
492번 · \(\alpha^2\), \(\beta^2\)를 두 근으로 하는 이차방정식
— 합 = \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\), 곱 = \((\alpha\beta)^2\)
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (제곱근을 새 두 근으로 하는 방정식 구성)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α²+β²=(α+β)²-2αβ, α²β²=(αβ)² 활용
- 📐 α²+β²와 α²β²를 계산해 새 이차방정식 구성
- ⚠️ (αβ)² 계산 시 괄호 실수
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-4x+2=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
\(\alpha^2\), \(\beta^2\)을 두 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=4\), \(\quad\alpha\beta=2\)
\(\alpha+\beta=4\), \(\quad\alpha\beta=2\)
2
새 두 근의 합·곱
합: \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-4=12\)
곱: \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=4\)
합: \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-4=12\)
곱: \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=4\)
3
새 이차방정식
\[x^2-12x+4=0\]
\[x^2-12x+4=0\]
정답 : \(x^2-12x+4=0\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
α², β²를 근으로 하는 이차방정식 공식
합: \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
곱: \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2\)
→ \(x^2-[(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta]x+(\alpha\beta)^2=0\)
합: \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
곱: \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2\)
→ \(x^2-[(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta]x+(\alpha\beta)^2=0\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- α²+β² = (α+β)²로 계산하는 실수 — 반드시 (α+β)²-2αβ 입니다!
- α²β² = 2αβ로 계산하는 실수 — α²β² = (αβ)² 입니다!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
🖼️ 교재 해설 이미지
