쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
476번 · 중근 조건 → \(a=3b\) → 직각삼각형 빗변 계산
— \(D=(a-3b)^2=0\) → \(a=3b\) → 피타고라스 정리로 빗변!
난이도 : 상
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- 📹 풀이 영상 (판별식 + 피타고라스 정리 응용)
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- 🔑 3x²−(a+3b)x+ab=0이 중근 → D=(a−3b)²=0 → a=3b
- 📐 빗변=√(a²+b²)=√(9b²+b²)=√10·b
- ⚠️ a=3b 결정 후 a,b 모두 b로 통일해서 빗변 계산!
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📌 문제 핵심 파악
직각을 낀 두 변의 길이가 \(a\), \(b\)인 직각삼각형에서
이차방정식 \(3x^2-(a+3b)x+ab=0\)이 중근을 가질 때,
빗변의 길이를 \(b\)에 대한 식으로 나타내는 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
중근 조건 — D=0
\[D = (a+3b)^2 – 4\cdot3\cdot ab = a^2+6ab+9b^2-12ab\] \[= a^2-6ab+9b^2 = (a-3b)^2 = 0\] \[\therefore a = 3b\]
\[D = (a+3b)^2 – 4\cdot3\cdot ab = a^2+6ab+9b^2-12ab\] \[= a^2-6ab+9b^2 = (a-3b)^2 = 0\] \[\therefore a = 3b\]
2
빗변 계산 — 피타고라스 정리
\[\text{빗변} = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(3b)^2+b^2} = \sqrt{10b^2} = \sqrt{10}\,b\]
\[\text{빗변} = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(3b)^2+b^2} = \sqrt{10b^2} = \sqrt{10}\,b\]
정답 : ④ \(\sqrt{10}\,b\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
판별식 D=0에서 변 관계 도출 → 빗변 계산 루틴
① \(3x^2-(a+3b)x+ab=0\)에서 \(D=(a-3b)^2\) (완전제곱식!)
② \(D=0 \implies a=3b\)
③ 피타고라스: \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9b^2+b^2}=\sqrt{10}\,b\)
① \(3x^2-(a+3b)x+ab=0\)에서 \(D=(a-3b)^2\) (완전제곱식!)
② \(D=0 \implies a=3b\)
③ 피타고라스: \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9b^2+b^2}=\sqrt{10}\,b\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 빗변은 두 직각변 중 긴 것(a=3b)이 아니라 √(a²+b²) — 직각삼각형 빗변 공식!)
- D 계산: −(a+3b)²가 아닌 +(a+3b)²에서 −4(3)(ab) 계산
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