쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
465번 · 이차방정식 중근 조건 — \(a+m\) 구하기
— \(D=0\)으로 \(a\) 결정 → 방정식 풀어 \(m\) 결정
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (중근 조건 D=0 완전 정복)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 중근 조건 \(D=0\) → \(a\) 결정 → \(m\) 결정의 2단계 흐름
- 📐 \(D=a^2-4(a-1)=(a-2)^2=0\) 전개 과정
- ⚠️ \(a\) 결정 후 반드시 방정식을 다시 풀어 \(m\) 구하기
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2 + ax + a – 1 = 0\)이 중근 \(m\)을 가질 때, \(a+m\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 흐름
중근 조건 \(D=0\) 적용 → \(a\) 결정 → 방정식에 \(a\) 대입 후 풀어 \(m\) 결정 → \(a+m\) 계산
중근 조건 \(D=0\) 적용 → \(a\) 결정 → 방정식에 \(a\) 대입 후 풀어 \(m\) 결정 → \(a+m\) 계산
💡 중근 조건이란?
이차방정식이 중근을 갖는다 = \(D=0\)
이때 \(D = b^2 – 4ac\)에서
이 문제는 \(a=1\), \(b=a\), \(c=a-1\) (주의: 문제의 \(a\)와 공식의 계수 \(a\)가 다름!)
이차방정식이 중근을 갖는다 = \(D=0\)
이때 \(D = b^2 – 4ac\)에서
이 문제는 \(a=1\), \(b=a\), \(c=a-1\) (주의: 문제의 \(a\)와 공식의 계수 \(a\)가 다름!)
✏️ 단계별 풀이
1
판별식 \(D=0\) 조건으로 \(a\) 결정
\[D = a^2 – 4(1)(a-1) = a^2 – 4a + 4 = (a-2)^2\] 중근 조건 \(D=0\)에서: \[(a-2)^2 = 0 \implies a = 2\]
\[D = a^2 – 4(1)(a-1) = a^2 – 4a + 4 = (a-2)^2\] 중근 조건 \(D=0\)에서: \[(a-2)^2 = 0 \implies a = 2\]
2
\(a=2\)를 대입한 방정식으로 중근 \(m\) 결정
\[x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0\] \[m = -1\]
\[x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0\] \[m = -1\]
3
최종 계산
\[a + m = 2 + (-1) = 1\]
\[a + m = 2 + (-1) = 1\]
정답 : ③ \(a + m = 1\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
중근 문제 2단계 루틴
① \(D=0\) 조건 → 미정계수 결정
② 결정된 계수를 방정식에 대입 → 완전제곱식으로 인수분해 → 중근 \(m\) 결정
암산 팁: 중근 \(m\)의 값
\(ax^2+bx+c=0\)이 중근을 가질 때, \(m=-\dfrac{b}{2a}\) (1차 계수의 절반에 음수)
① \(D=0\) 조건 → 미정계수 결정
② 결정된 계수를 방정식에 대입 → 완전제곱식으로 인수분해 → 중근 \(m\) 결정
암산 팁: 중근 \(m\)의 값
\(ax^2+bx+c=0\)이 중근을 가질 때, \(m=-\dfrac{b}{2a}\) (1차 계수의 절반에 음수)
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(a=2\)를 구한 뒤 \(m=-1\)을 구하지 않고 \(a+m=2+?\)로 끝내는 실수 — 반드시 방정식에 대입해 중근 \(m\)을 구해야 합니다.
- 판별식에서 \(b=a\)(문제의 상수)와 \(a=1\)(이차 계수)을 혼동 — 공식 \(D=b^2-4ac\)에서 계수를 정확히 대입하세요.
- \((a-2)^2=0\)에서 \(a=\pm 2\)로 쓰는 실수 — 완전제곱식이므로 \(a=2\) 하나만 나옵니다!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
⚡ \(D=0\) → 계수 결정 → 중근 결정의 3단계를 한 번의 흐름으로 처리하는 훈련을 해두세요. 익숙해지면 1분 안에 풀 수 있습니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
