📋 문제 핵심 파악
주어진 것: 이차방정식 x² + px + q = 0의 두 근이 α, β
조건: 두 근이 2α, 2β인 이차방정식이 x² + qx + r = 0
구하는 것: r/q의 값
🔥 핵심 공식
첫 번째 방정식: α + β = -p, αβ = q
두 번째 방정식: 2α + 2β = -q, 2α·2β = r
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 첫 번째 방정식 분석
x² + px + q = 0의 두 근이 α, β
근과 계수의 관계:
α + β = -p … ①
αβ = q … ②
🔑 두 번째 방정식 분석
x² + qx + r = 0의 두 근이 2α, 2β
근과 계수의 관계:
2α + 2β = -q … ③
2α · 2β = r … ④
🔑 관계식 정리
③에서: 2(α + β) = -q
①을 대입: 2(-p) = -q
∴ q = 2p … ⑤
④에서: 4αβ = r
②를 대입: 4q = r
∴ r = 4q … ⑥
🔑 r/q 계산
⑥에서 r = 4q이므로
r/q = 4q/q = 4
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 5단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: 첫 번째 방정식: α + β = -p, αβ = q
- STEP 2: 두 번째 방정식: 2α + 2β = -q, 4αβ = r
- STEP 3: 2(-p) = -q → q = 2p
- STEP 4: r = 4αβ = 4q
- 정답: r/q = 4
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: 두 근이 2α, 2β일 때 합이 2(α+β)임을 놓침
- 실수 2: 곱이 4αβ임을 잊고 2αβ로 계산
- 실수 3: 부호 실수 (근과 계수 관계에서 합은 -p)
🍯 TOUGH 문제 공략 꿀팁
- 근의 변환 공식: 근이 kα, kβ이면 합은 k배, 곱은 k²배!
- 일반화: 근이 α+c, β+c이면 합은 2c 증가, 곱은 달라짐
- 핵심: 새 방정식의 계수를 원래 근으로 표현