📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 2단원 282번│나머지정리 심화
xⁿ(x²+ax+b)를 (x−3)²으로 나눈 나머지가 3ⁿ(x−3)일 때
🏆 행복한 1등급 – 최다빈출 왕중요
이 문제는 1등급 달성을 위한 필수 문제입니다!
나머지정리와 미정계수법의 종합적 이해가 필요합니다.
📋 문제 핵심 파악
주어진 것: x에 대한 다항식 xⁿ(x²+ax+b)
조건: (x−3)²으로 나누었을 때의 나머지가 3ⁿ(x−3)
단, n은 자연수
구하는 것: 상수 a, b에 대하여 a+b의 값
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 (x−3)²으로 나눈 나머지
이차식으로 나눈 나머지는 일차식 또는 상수입니다.
나머지 = 3ⁿ(x−3) = 3ⁿx − 3ⁿ⁺¹ (일차식)
🔑 나머지정리 확장 (중근)
f(x)를 (x−a)²으로 나눈 나머지가 R(x)일 때:
f(a) = R(a) 그리고 f'(a) = R'(a)
(미분을 이용한 조건 또는 계수 비교)
🔑 n이 자연수일 때 성립
모든 자연수 n에 대해 성립해야 하므로, 특정 n값(n=1, n=2 등)을 대입하여 a, b를 결정할 수 있습니다.
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 2단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: f(x) = xⁿ(x²+ax+b), 나머지 R(x) = 3ⁿ(x−3) 설정
- STEP 2: f(3) = R(3) 조건 활용 → 3ⁿ(9+3a+b) = 0
- STEP 3: f'(x) 구하고 f'(3) = R'(3) = 3ⁿ 조건 활용
- STEP 4: 연립하여 a, b 결정 → a+b 계산
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: (x−3)²이 중근이므로 조건이 2개 필요함을 인식 못함
- 실수 2: 3ⁿ(x−3)을 전개하지 않고 대입 → 3ⁿx−3ⁿ⁺¹로 정리 필요
- 실수 3: 미분 조건 f'(3) = R'(3) 적용 시 계산 실수
🍯 1등급 달성 꿀팁
- 중근 조건: (x−a)² 나눗셈 → f(a)=R(a), f'(a)=R'(a) 두 조건!
- n이 자연수: 모든 n에 대해 성립 → 특정 n 대입으로 단순화
- 체계적 접근: 나눗셈 등식 → 대입 → 미분 → 연립방정식
- 검산: 구한 a, b로 실제 나눗셈 확인