마플시너지공수1답지 1120번 일등급 사차방정식·네 실근 조건 핵심 포인트

1120번은 7단원 고차방정식 일등급문제(최다빈출)로, 사차방정식을 조립제법으로 인수분해한 뒤 이차식이 1, −1이 아닌 서로 다른 두 실근을 갖는 조건에서 자연수 k의 합을 구하는 문제입니다.

① 사차식 인수분해 — f(x)=x⁴+(k−1)x³+3x²−(k−1)x−4에서 f(1)=0, f(−1)=0. 조립제법을 두 번 적용하면 f(x)=(x−1)(x+1){x²+(k−1)x+4}.

② 서로 다른 네 실근 조건 — Q(x)=x²+(k−1)x+4=0이 1도 아니고 −1도 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.

(ⅰ) Q(1)≠0: 1+(k−1)+4≠0, k≠−4.

(ⅱ) Q(−1)≠0: 1−(k−1)+4≠0, k≠6.

(ⅲ) D>0: (k−1)²−16>0, (k−5)(k+3)>0, k<−3 또는 k>5.

③ 종합 — k<−4 또는 −4<k<−3 또는 5<k<6 또는 k>6. 10 이하 자연수 k: 7, 8, 9, 10. 합=7+8+9+10=34.

정답: 34.