수학 문제풀이

📌 15ˣ = 8에서 x를 구하지 않고도 a를 찾을 수 있다는 거, 알고 계셨나요? 이 문제는 2019년 6월 고2 학력평가 14번으로 출제된 지수법칙을 이용한 밑 통일 유형입니다. 15ˣ = 8, aʸ = 2라는 조건에서 x, y를 직접 구하지 않고 밑을 2로 통일한 뒤 지수끼리 비교하는 것이 핵심 전략입니다. 3/x + 1/y = 2 조건을 지수 … 더 읽기

📌 24ˣ = 32, 3ʸ = 128… 밑이 다른데 어떻게 연결하죠? 이 문제는 학교기출 대표유형으로, 밑이 서로 다른 두 지수식을 하나의 공통 밑(밑 2)으로 통일하는 전형적인 문제입니다. 24ˣ = 32 = 2⁵, 3ʸ = 128 = 2⁷이라는 점을 이용하여 양변을 1/x제곱, 1/y제곱하면 5/x와 7/y가 자연스럽게 나타납니다. 서술형 출제도 잦으니 풀이 과정을 꼼꼼히 익혀두세요. 정답은 3입니다. … 더 읽기

📌 산술평균 ≥ 기하평균! 지수식에서도 이 부등식이 통하는 이유, 제대로 알고 계신가요? 이 문제는 산술평균과 기하평균의 관계(AM-GM 부등식)를 지수식에 적용하는 고난도 유형입니다. (1)은 직선 y = −3x + 6 위의 점 (a, b)에서 5ᵃ + (⁴√5)ᵇ의 최솟값을 구하고, (2)는 (2⁻ᵃ ÷ 2⁴ᵇ)⁻² = 2⁸ 조건에서 (⁴√5)ᵃ + 5ᵇ의 최솟값을 구합니다. 핵심은 지수를 5의 거듭제곱 꼴로 … 더 읽기

📌 정육면체 부피가 a⁴? 한 모서리 길이를 a의 유리수 지수로 표현하는 것이 첫 단추입니다! 이 문제는 유리수 지수 표현을 도형 문제에 적용하는 고난도 유형입니다. 정육면체의 부피가 a⁴이면 한 모서리의 길이 x는 x³ = a⁴, 즉 x = a4/3이 되고, 대각선으로 잘린 정삼각형의 한 변은 √2·x입니다. 정삼각형 넓이 공식에 대입한 뒤 8√3a²와 같다고 놓으면 a4/3 = … 더 읽기

📌 정사각형을 반복 구성하면 좌표가 어떻게 변할까? 유리수 지수의 연쇄 적용이 핵심입니다! 이 문제는 두 곡선 y = x²과 y = x³ 사이에서 정사각형을 반복 구성하며 좌표를 추적하는 고난도 유형입니다. P₁(a, a²) → 정사각형 OQ₁AB → 곡선 y = x³과 만나는 P₂ → 정사각형 OQ₂CD → 곡선 y = x²과 만나는 P₃ 이 과정에서 b … 더 읽기

📌 ⁿ√a가 자연수가 되려면 a가 어떤 수의 n제곱이어야 합니다. n별로 경우를 나눠보세요! 이 문제는 y = xⁿ과 y = a의 교점의 x좌표가 자연수가 되는 순서쌍 (n, a)의 개수를 구하는 문제입니다. 교점의 x좌표는 ⁿ√a이므로, ⁿ√a가 자연수가 되려면 a = kⁿ (k는 자연수) 꼴이어야 합니다. n = 2이면 a = 4, 9, 16, …, 100으로 9개, n … 더 읽기

📌 2023 수능 13번! m¹²의 n제곱근이 정수가 되려면 12/n이 정수여야 합니다. 약수 개수가 핵심! 이 문제는 2023학년도 수능 기출 문제입니다. m¹²의 n제곱근은 x = m12/n이므로, 이 값이 정수가 되려면 12/n이 정수(즉 n이 12의 약수)이거나, m의 소인수분해에 따라 추가 경우가 생깁니다. m = 2, 3, …, 9 각각에 대해 m12/n이 정수가 되는 2 이상의 자연수 n의 … 더 읽기

📌 2023년 9월 고3 모평 11번! “네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값”을 지수법칙으로 풀 수 있나요? 이 문제는 2023학년도 9월 고3 모의평가 기출입니다. √(3f(n))의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 −9라는 조건에서, 먼저 지수법칙으로 곱을 정리하여 f(n) = 8을 구하고, 이차함수 f(x) = −(x−2)² + k의 그래프에서 f(n) = 8을 만족하는 자연수 n이 … 더 읽기

📌 t² = −x² + 9에서 실수 t의 개수를 바로 구할 수 있나요? 이 문제를 놓치면 일등급은 멀어집니다! 이 문제는 거듭제곱근의 정의와 이차식의 부호 분석을 결합한 STEP3 일등급 문제입니다. t² = −x² + 9에서 우변의 부호에 따라 실수 t의 개수가 2개, 1개, 0개로 달라지고, 이를 함수 f(x)로 정의한 뒤 보기 ㄱ~ㄷ의 참·거짓을 판별해야 합니다. x의 … 더 읽기