빈출 유형
곡선과 x축 사이의 넓이
근을 이용한 삼차함수 결정
출제의도
이 문항은 삼차함수의 근에 대한 조건으로 함수식을 세우고, 정적분 조건으로 미정계수를 결정한 뒤, 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다. 정적분 값과 넓이가 서로 다르다는 점을 정확히 구분하는 것이 핵심입니다.
조건 (가)에서 세 근 a, −2a, 0을 읽어 f(x)=x(x−a)(x+2a)로 놓는 것이 출발점이고, a>0이므로 x축 위쪽 구간과 아래쪽 구간을 나누어 넓이를 계산해야 합니다.
단계별 힌트
조건 (가)는 f(x)=0의 세 근이 a, −2a, 0이라는 뜻입니다. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라면 세 근만으로 f(x)의 식을 완전히 세울 수 있다는 점을 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=x(x−a)(x+2a)=x3+ax2−2a2x로 전개한 뒤 조건 (나)의 정적분 ∫a−2af(x)dx를 계산하면 결과가 a4의 상수배로 정리됩니다. 이 값을 36과 같게 놓으면 a가 결정됩니다.
넓이를 구할 때는 x축 아래에 있는 부분의 함숫값이 음수이므로, 그 구간에서는 −f(x)를 적분해야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 구하면 f(x)의 세 근이 −4, 0, 2가 됩니다. 구간 [−4, 0]에서는 f(x)≥0, 구간 [0, 2]에서는 f(x)≤0이므로 넓이는 ∫0−4f(x)dx+∫20(−f(x))dx입니다. 조건 (나)의 값 36을 다시 활용하는 방법도 생각해 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 1483
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 f(x)의 식 세우기
f(a)=f(−2a)=f(0)=0이고 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)=x(x−a)(x+2a)=x3+ax2−2a2x입니다.
STEP B조건 (나)로 a 구하기
∫a−2af(x)dx=[14x4+a3x3−a2x2]a−2a를 계산하면 (14+13−1)a4−(4−83−4)a4=94a4입니다. 94a4=36에서 a4=16이고, a>0이므로 a=2입니다. 따라서 f(x)=x(x−2)(x+4)=x3+2x2−8x입니다.
STEP C부호를 나누어 넓이 구하기
f(x)는 [−4, 0]에서 0 이상, [0, 2]에서 0 이하입니다. ∫0−4f(x)dx=1283, ∫20(−f(x))dx=203이므로 구하는 넓이는 1283+203=1483, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 조건 (나)의 36을 그대로 재활용
a=2이면 조건 (나)는 ∫2−4f(x)dx=36이 됩니다. 이 적분은 x축 위쪽 넓이에서 x축 아래쪽 넓이를 뺀 값이므로, 아래쪽 부분만 따로 구하면 넓이를 바로 얻을 수 있습니다.
∫20f(x)dx=4+163−16=−203이므로, 넓이는 ∫2−4f(x)dx−2∫20f(x)dx=36−2×(−203)=36+403=1483입니다. 구간 [−4, 0]의 적분을 따로 계산할 필요가 없어 계산량이 절반으로 줄어듭니다.
또한 STEP B에서 f(x)의 모든 항이 x와 a에 대하여 3차이므로 적분 결과는 반드시 a4의 상수배가 됩니다. 계산 결과에 a3이나 a2이 남는다면 중간에 실수가 있다는 신호로 활용하세요.
실수를 줄이는 전략
- 정적분 값과 넓이는 다릅니다. 조건 (나)의 36을 곧바로 넓이로 착각하면 안 됩니다. x축 아래 부분이 있으면 그 부분만큼 빼진 값이기 때문입니다.
- 아래끝 −2a를 대입할 때 (−2a)3=−8a3이므로 a3×(−8a3)=−83a4입니다. 거듭제곱의 부호를 한 항씩 확인하세요.
- a4=16에서 a=±2가 나오지만 문제에서 a는 양수라고 했으므로 a=2만 택합니다.
- [0, 2]에서는 f(x)≤0이므로 −f(x)를 적분하거나 적분값에 절댓값을 씌워야 합니다. 부호를 그대로 두고 더하면 1283−203=36이 나와 오답이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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