빈출 유형
운동 방향이 바뀌는 시각
움직인 거리
출제의도
이 문항은 “운동 방향이 바뀐다 = 속도의 부호가 바뀐다”는 해석과, “움직인 거리 = 속도의 절댓값의 정적분”이라는 공식을 정확히 적용할 수 있는지 확인합니다. 움직인 거리 조건으로 양수 k를 결정한 뒤, 속도를 미분해 가속도를 구합니다.
속도가 0이 되는 시각이 두 개(t=0, t=1)지만 실제로 부호가 바뀌는 시각은 하나뿐이라는 점을 가려내는 것이 첫 번째 관문이고, 절댓값을 처리해 거리를 양수로 계산하는 것이 두 번째 관문입니다.
단계별 힌트
점 P의 운동 방향이 바뀐다는 것은 속도 v(t)가 어떻게 변한다는 뜻일까요? v(t)=0이 되는 시각을 모두 찾은 다음, 그중에서 v(t)의 부호가 실제로 바뀌는 시각이 어디인지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
v(t)=kt2(t−1)=0에서 t=0 또는 t=1입니다. t=0은 중근이라 부호가 바뀌지 않고, k>0이므로 0<t<1에서 v(t)<0, t>1에서 v(t)>0입니다. 따라서 운동 방향은 t=1에서 바뀝니다.
시각 t=0부터 t=1까지 움직인 거리는 ∫10|v(t)|dt이고, 이 구간에서 v(t)≤0이므로 |v(t)|=−v(t)로 바꿔 계산합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
움직인 거리를 k에 대한 식으로 정리해 13과 같다고 놓으면 k가 나옵니다. 그다음 v(t)를 전개해 미분하면 가속도 함수가 되고, 여기에 t=k2를 대입하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A운동 방향이 바뀌는 시각 찾기
v(t)=kt2(t−1)=0에서 t=0 또는 t=1입니다. 0<t<1에서 v(t)<0, t>1에서 v(t)>0이므로 점 P는 t=1에서 운동 방향을 바꿉니다.
STEP B움직인 거리 조건으로 k 구하기
∫10|v(t)|dt=k∫10(−t3+t2)dt=k[−14t4+13t3]10=k12입니다. k12=13에서 k=4입니다.
STEP C가속도 함수에 t=2 대입하기
v(t)=4t3−4t2이므로 a(t)=v′(t)=12t2−8t입니다. t=k2=2이므로 a(2)=48−16=32이고, 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 넓이 공식으로 거리를 한 번에
0≤t≤1에서 |v(t)|=kt2(1−t)입니다. 정적분 공식 ∫βα(t−α)2(β−t)dt=(β−α)412에 α=0, β=1을 넣으면 ∫10t2(1−t)dt=112이므로, 움직인 거리는 곧바로 k12입니다. 부정적분을 구해 대입하는 과정 없이 k=4를 얻을 수 있습니다.
또 하나의 점검법도 있습니다. 절댓값을 빼고 ∫10v(t)dt를 계산하면 −k12로 음수가 나옵니다. 이것은 t=0부터 t=1까지의 위치의 변화량이고, 움직인 거리는 그 절댓값인 k12입니다. 거리가 음수로 나오면 절댓값 처리를 빠뜨렸다는 신호로 받아들이세요.
실수를 줄이는 전략
- t=0에서도 v(t)=0이지만 t2은 중근이라 부호가 바뀌지 않고, 게다가 출발 시각입니다. 속도가 0이 되는 시각이 모두 운동 방향이 바뀌는 시각은 아니므로 부호 변화를 반드시 확인하세요.
- 절댓값을 빠뜨리고 ∫10v(t)dt=13로 놓으면 k=−4가 되어 “k는 양수”라는 조건과 모순입니다. 조건과 맞지 않는 값이 나오면 부호 처리부터 다시 점검하세요.
- 가속도를 구할 때는 v(t)=4t2(t−1)을 4t3−4t2으로 전개한 뒤 미분하세요. 곱의 형태에서 인수마다 따로 미분하는 실수를 막을 수 있습니다.
- 구하는 시각은 t=1이 아니라 t=k2=2입니다. k를 구한 뒤 문제에서 요구한 시각을 다시 확인하세요.