빈출 유형
속도와 가속도
정적분과 점의 위치
출제의도
이 문항은 “속도를 미분하면 가속도, 속도를 정적분하면 위치의 변화량”이라는 두 관계를 한 문제 안에서 모두 사용할 수 있는지 확인합니다. 가속도 조건으로 상수 k를 먼저 결정하고, 그 k로 정해지는 시각까지 속도를 정적분해 위치를 구합니다.
핵심은 “위치”와 “움직인 거리”의 구분입니다. 위치는 속도를 부호 그대로 정적분한 값이고, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 정적분한 값입니다. 이 문항은 위치를 묻고 있으므로 절댓값을 씌우지 않습니다.
단계별 힌트
가속도는 속도와 어떤 관계일까요? 시각 t=1에서의 가속도가 5라는 조건을 식으로 바꾸면, 아직 모르는 상수 k를 결정할 수 있습니다. k를 알아야 “시각 t=k”가 언제인지도 정해진다는 점을 먼저 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
가속도는 속도를 미분한 것이므로 a(t)=v′(t)입니다. v(t)=t3+kt−3을 미분해 t=1을 대입하고 5와 같다고 놓으면 k가 나옵니다.
점 P는 원점(위치 0)에서 출발했으므로 시각 t=k에서의 위치는 0+∫k0v(t)dt입니다. 위치를 구하는 것이므로 v(t)에 절댓값을 씌우지 않습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
구한 k를 v(t)에 넣어 속도 함수를 확정하고, 적분 구간의 위끝을 k로 정합니다. v(t)의 부정적분을 구한 뒤 위끝과 아래끝 0을 대입해 빼면 위치가 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A속도를 미분해 가속도 함수 구하기
시각 t에서의 가속도를 a(t)라 하면 a(t)=v′(t)=3t2+k입니다.
STEP Bt=1에서의 가속도 조건으로 k 구하기
a(1)=3+k=5이므로 k=2입니다. 따라서 v(t)=t3+2t−3이고, 구하는 것은 시각 t=2에서의 위치입니다.
STEP C속도를 정적분해 t=2에서의 위치 구하기
원점에서 출발했으므로 위치는 0+∫20(t3+2t−3)dt=[14t4+t2−3t]20=4+4−6=2입니다. 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 위치 함수를 먼저 세우고 대입하기
원점에서 출발했으므로 시각 t에서의 위치를 x(t)라 하면 x(0)=0이고, x(t)=14t4+k2t2−3t로 먼저 세워 둘 수 있습니다. k=2를 구한 뒤 x(t)=14t4+t2−3t에 t=2를 대입하면 x(2)=4+4−6=2가 바로 나옵니다. 위치 함수를 한 번 세워 두면 다른 시각의 위치를 묻는 변형 문제에도 그대로 쓸 수 있습니다.
한 걸음 더 나아가 보면, v(t)=t3+2t−3=(t−1)(t2+t+3)이고 t2+t+3>0이므로 0<t<1에서는 v(t)<0, t>1에서는 v(t)>0입니다. 즉 점 P는 t=1에서 운동 방향을 바꿉니다. x(1)=−74이므로 t=0부터 t=2까지 움직인 거리는 74+154=112로, 위치 2와 다릅니다. 같은 속도 함수로 “위치”와 “움직인 거리”를 번갈아 묻는 문제가 자주 나오므로 이 차이를 꼭 기억해 두세요.
실수를 줄이는 전략
- 가속도는 속도를 미분한 값입니다. 속도를 적분해 가속도를 구하는 식으로 관계를 뒤집지 않도록, “위치 →(미분)→ 속도 →(미분)→ 가속도” 순서를 먼저 떠올리세요.
- 시각 t=k는 k를 구한 뒤에야 정해집니다. k=2를 구했으면 적분 구간의 위끝이 2라는 것을 식에 바로 반영하세요.
- 위치를 묻는 문제에서 ∫20|v(t)|dt를 계산하면 움직인 거리 112이 나옵니다. 문제가 “위치”를 묻는지 “움직인 거리”를 묻는지 반드시 확인하세요.
- 이 문항은 원점에서 출발하므로 처음 위치가 0입니다. 출발점이 원점이 아닌 문제에서는 처음 위치를 정적분 값에 더해야 합니다.