빈출 유형
미분가능성과 접선
곡선과 x축 사이의 넓이
출제의도
이 문항은 구간에 따라 정의된 함수가 미분가능할 조건을 이용해 미정계수를 구하고, 그 결과로 정해진 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다. 곡선 부분과 직선 부분을 나누어 넓이를 계산하는 것이 핵심입니다.
직선 y=−x+a+f(a)는 이미 점 (a, f(a))를 지나므로 연속 조건은 자동으로 만족됩니다. 따라서 미분가능 조건은 두 식의 기울기가 같다는 f′(a)=−1 하나로 정리됩니다.
단계별 힌트
g(x)가 x=a에서 미분가능하려면 x=a에서 연속이고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 직선 y=−x+a+f(a)에 x=a를 대입하면 어떤 값이 나오는지 먼저 확인해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
연속은 자동으로 성립하므로 기울기만 비교하면 됩니다. x<a에서의 기울기는 f′(a), x≥a에서의 기울기는 −1이므로 f′(a)=−1을 풀면 a가 나옵니다. 조건 0<a<6을 잊지 마세요.
이때 x≥a 부분의 직선은 곡선 y=f(x)의 x=a에서의 접선이 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 구한 뒤 f(a)를 계산해 직선의 식과 x절편을 구하세요. 넓이는 0부터 a까지 곡선 아래 부분의 정적분과, 직선이 만드는 삼각형의 넓이를 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 1294
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A미분가능 조건으로 a 구하기
f′(x)=13x2−103x+6이고, 직선이 점 (a, f(a))를 지나므로 기울기만 맞추면 됩니다. f′(a)=−1에서 a2−10a+21=0, (a−3)(a−7)=0이고 0<a<6이므로 a=3입니다.
STEP B직선의 식과 그래프 개형 파악하기
f(3)=3−15+18=6이므로 x≥3일 때 g(x)=−x+9입니다. f(x)=19x(x−6)(x−9)는 0≤x≤3에서 0 이상이고, 직선은 x=9에서 x축과 만나므로 y=g(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분은 0≤x≤9 구간에 있습니다.
STEP C곡선 부분과 삼각형 부분을 더하기
∫30f(x)dx=[136x4−59x3+3x2]30=94−15+27=574이고, 3≤x≤9 부분은 밑변 6, 높이 6인 삼각형이므로 넓이 18입니다. 따라서 574+18=1294, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선과 삼차함수의 구조로 보기
x≥3 부분의 직선은 곡선 y=f(x)의 x=3에서의 접선이므로, f(x)−(−x+9)=19(x−3)2(x−k) 꼴입니다. 삼차방정식의 근과 계수의 관계에서 세 근의 합은 f(x)=0의 세 근의 합과 같으므로 3+3+k=0+6+9, 즉 k=9입니다. 그래서 접선이 곡선과 다시 만나는 점이 바로 f의 근인 (9, 0)이 되고, f(3)을 계산하지 않아도 직선이 (9, 0)을 지난다는 것을 알 수 있습니다.
이 구조를 쓰면 넓이를 ∫90f(x)dx+∫93{(−x+9)−f(x)}dx로도 구할 수 있습니다. ∫90f(x)dx=814이고, 삼차함수와 접선 사이의 넓이 공식 |p|(β−α)412(p는 최고차항의 계수, α는 접점, β는 다시 만나는 점)에 의해 두 번째 적분은 19×6412=12이므로 814+12=1294로 같은 답이 나옵니다. 본풀이의 검산용으로 쓰기 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- (a−3)(a−7)=0에서 a=7도 나오지만 조건 0<a<6에 의해 제외됩니다. 조건을 확인하지 않으면 전혀 다른 그래프로 넓이를 구하게 됩니다.
- x≥3에서 g(x)는 f(x)가 아니라 직선입니다. 곡선 f의 근 0, 9만 보고 ∫90f(x)dx=814를 답으로 쓰는 실수를 조심하세요.
- f(3)을 계산할 때 19×27−53×9+18=3−15+18=6입니다. 분수 계수의 약분을 한 항씩 정확히 하세요.
- 직선 부분은 적분하지 않고 삼각형 넓이 12×6×6=18로 처리하면 계산이 짧고 실수가 줄어듭니다.
엄선된 풀이 영상
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