빈출 유형
정적분의 성질
위끝·아래끝과 구간 합치기
출제의도
이 문항은 정적분의 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다는 성질과, 적분 구간을 이어 붙일 수 있다는 성질로 두 정적분을 하나로 합칠 수 있는지 확인합니다. 합친 결과는 a에 대한 삼차방정식이 되고, 이차방정식의 근과 계수의 관계로 마무리합니다.
조건에 “1이 아닌”이 붙은 이유를 파악하는 것이 핵심입니다. ∫11f(x)dx=0이므로 a=1은 항상 조건을 만족하는 근이 되기 때문입니다.
단계별 힌트
두 정적분 모두 위끝이 2로 같습니다. 빼기로 연결된 두 정적분을 하나로 합치려면 정적분의 어떤 성질을 쓰면 좋을지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
−∫2af(x)dx=∫a2f(x)dx로 바꾸면 ∫21f(x)dx+∫a2f(x)dx=∫a1f(x)dx로 합쳐집니다. 따라서 주어진 조건은 ∫a1f(x)dx=0과 같습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
∫a1(3x2−6x)dx를 계산하면 a에 대한 삼차식이 나옵니다. a=1을 대입하면 0이 되므로 a−1을 인수로 가집니다. 인수분해하고 남은 이차방정식에 근과 계수의 관계를 쓰되, 두 근이 실수인지도 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 정적분을 하나로 합치기
∫21f(x)dx−∫2af(x)dx=∫21f(x)dx+∫a2f(x)dx=∫a1f(x)dx입니다.
STEP B정적분을 계산해 인수분해하기
∫a1(3x2−6x)dx=[x3−3x2]a1=a3−3a2+2=(a−1)(a2−2a−2)=0입니다.
STEP Ca≠1인 근의 합 구하기
a≠1이므로 a2−2a−2=0입니다. D4=1+2=3>0이므로 서로 다른 두 실근을 갖고, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 2입니다. 두 근은 1±√3으로 모두 1이 아니므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 삼차방정식의 근과 계수의 관계로 인수분해 생략
F(x)=x3−3x2으로 놓으면 F′(x)=f(x)이므로 조건 ∫a1f(x)dx=0은 F(a)=F(1)=−2, 즉 a3−3a2+2=0입니다. 삼차방정식의 세 근의 합은 근과 계수의 관계에 의해 3이고, 그중 하나가 1이므로 나머지 두 근의 합은 3−1=2입니다. 인수분해를 하지 않고도 답이 나옵니다.
다만 나머지 두 근이 1이 아닌 실수인지 확인해야 합니다. y=F(x)는 x=0에서 극댓값 0, x=2에서 극솟값 −4를 가지므로 직선 y=−2와 서로 다른 세 점에서 만납니다. 따라서 세 근은 모두 서로 다른 실수이고, 조건을 만족하는 1이 아닌 a는 정확히 두 개입니다.
실수를 줄이는 전략
- −∫2af(x)dx를 그대로 두고 따로 계산하면 식이 길어집니다. 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다는 성질로 먼저 구간을 합치세요.
- [x3−3x2]a1에서 아래끝을 대입한 값 1−3=−2를 빼야 하므로 +2가 됩니다. 부호를 틀려 a3−3a2−2로 쓰면 a=1이 근이 되지 않아 인수분해가 막힙니다.
- a=1을 제외하지 않으면 세 근의 합 1+2=3으로 ③을 고르게 됩니다. 문제의 “1이 아닌” 조건을 마지막에 반드시 다시 확인하세요.
- 근과 계수의 관계로 합을 구하기 전에 판별식으로 두 근이 실수인지 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항은 실수 a의 값을 묻고 있으므로 허근이면 합에 포함할 수 없습니다.