빈출 유형
정적분의 정의
F(b)−F(a)와 정적분
출제의도
이 문항은 “F(x)가 f(x)의 부정적분이면 F(b)−F(a)는 f(x)를 a부터 b까지 정적분한 값”이라는 정적분의 정의를 적용할 수 있는지 확인합니다. F(x)의 식을 따로 구하지 않아도 f(x)의 정적분만 계산하면 k에 대한 일차방정식이 만들어집니다.
F(x)에는 적분상수가 붙어 있지만 F(5)−F(2)를 계산하는 과정에서 서로 소거되므로 신경 쓸 필요가 없다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
F(x)의 도함수가 f(x)라는 것은 F(x)가 f(x)의 부정적분 중 하나라는 뜻입니다. 이때 F(5)−F(2)는 f(x)를 이용한 어떤 식으로 바꿔 쓸 수 있을지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
F(5)−F(2)=∫52f(x)dx입니다. F(x)=x3+k2x2−2x+C로 놓더라도 두 값을 빼면 적분상수 C가 사라지므로, 정적분 계산만 하면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
3x2+kx−2의 부정적분에 x=5와 x=2를 대입해 빼면 k에 대한 일차식이 나옵니다. 이 식이 174와 같다고 놓고 k를 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP AF(5)−F(2)를 정적분으로 바꾸기
F′(x)=f(x)이므로 F(5)−F(2)=∫52f(x)dx=∫52(3x2+kx−2)dx입니다.
STEP B부정적분을 구해 위끝·아래끝 대입하기
[x3+k2x2−2x]52=(125+252k−10)−(8+2k−4)=212k+111입니다.
STEP Ck의 값 구하기
212k+111=174에서 212k=63이므로 k=6입니다. 따라서 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 항별 적분값을 따로 구해 바로 합치기
정적분은 항별로 나누어 계산할 수 있으므로 세 항을 따로 구합니다. ∫523x2dx=53−23=117, ∫52kx dx=k2(52−22)=212k, ∫52(−2)dx=−2×(5−2)=−6입니다.
세 값을 더하면 117+212k−6=212k+111로 같은 식이 나옵니다. 괄호 두 개를 통째로 빼는 과정이 없어서 부호 실수가 줄고, 특히 상수함수의 정적분은 (함숫값)×(구간의 길이)로 바로 계산할 수 있어 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- F(x)를 구할 때 적분상수 C를 어떻게 정할지 고민하느라 멈추는 경우가 있습니다. F(5)−F(2)에서는 C가 소거되므로 C 없이 계산해도 됩니다.
- kx의 부정적분을 kx2으로 쓰는 실수가 있습니다. 차수를 하나 올린 뒤 그 차수로 나누어 k2x2으로 써야 합니다.
- (125+252k−10)−(8+2k−4)에서 두 번째 괄호를 뺄 때 −4의 부호가 +4로 바뀌는 것을 놓치기 쉽습니다. 괄호 전체에 −를 곱한다고 생각하세요.
- 252k−2k를 계산할 때 2k=42k로 통분해야 212k가 나옵니다. 여기서 틀리면 선택지에 없는 값이 나오니 다시 점검하세요.