빈출 유형
절댓값 함수의 정적분
구간 나누어 적분하기
출제의도
절댓값 기호가 있는 함수의 정적분은 절댓값 안의 식의 부호가 바뀌는 점을 기준으로 구간을 나누어 계산해야 합니다. 이 문항은 x2−2x−3의 부호를 판단해 절댓값을 벗기고, 두 정적분의 합으로 바꿀 수 있는지 확인합니다.
인수분해해서 얻은 두 근 −1, 3 가운데 적분 구간 −2≤x≤2 안에 들어오는 것은 x=−1뿐이라는 점을 확인하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
절댓값은 안쪽 식이 양수인지 음수인지에 따라 벗기는 방법이 달라집니다. x2−2x−3의 부호가 바뀌는 x의 값을 먼저 찾아보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x2−2x−3=(x+1)(x−3)이므로 −2≤x≤−1에서는 0 이상, −1≤x≤2에서는 0 이하입니다. 0 이하인 구간에서는 −(x2−2x−3)으로 절댓값을 벗깁니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
적분 구간을 x=−1에서 나누어 두 정적분의 합으로 쓴 뒤 각각 계산해 더하세요. 절댓값을 벗긴 식을 적분했으므로 두 값 모두 양수가 나와야 정상입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 343
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A부호가 바뀌는 점 찾기
x2−2x−3=(x+1)(x−3)이므로 −2≤x≤−1에서 x2−2x−3≥0, −1≤x≤2에서 x2−2x−3≤0입니다.
STEP B구간을 나누어 절댓값 벗기기
∫2−2|x2−2x−3|dx=∫−1−2(x2−2x−3)dx+∫2−1(−x2+2x+3)dx입니다.
STEP C각각 계산해서 더하기
[13x3−x2−3x]−1−2=53−(−23)=73이고, [−13x3+x2+3x]2−1=223−(−53)=9입니다. 따라서 73+9=343이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 전체를 한 번에 적분하고 부호 구간만 보정
g(x)=x2−2x−3이라 하면 −1≤x≤2에서는 |g(x)|=−g(x)이고, −2≤x≤−1에서만 |g(x)|=g(x)입니다. 그래서 ∫2−2|g(x)|dx=−∫2−2g(x)dx+2∫−1−2g(x)dx로 쓸 수 있습니다. 전체에 −를 붙이면 −2≤x≤−1 부분이 반대 부호로 들어가므로, 그 부분을 두 번 더해 보정하는 원리입니다.
적분 구간이 원점 대칭이므로 홀수 차수 항 −2x의 적분값은 0이 되어 ∫2−2g(x)dx=2∫20(x2−3)dx=2(83−6)=−203입니다. 따라서 203+2×73=343으로 같은 답이 나오며, 음수 대입 계산이 한 번으로 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 최고차항의 계수가 양수인 이차식 (x+1)(x−3)은 두 근 사이에서 음수입니다. 부호 구간을 거꾸로 잡으면 적분값이 음수로 나오니, 이차함수 그래프를 간단히 그려 확인하세요.
- 근 3은 적분 구간 −2≤x≤2 밖에 있으므로 구간을 나눌 필요가 없습니다. 모든 근에서 기계적으로 구간을 나누지 말고 적분 구간 안의 근만 사용하세요.
- x=−2를 대입할 때 (−2)3=−8이므로 13×(−8)−4+6=−23입니다. 음수의 거듭제곱과 −x2, −3x의 부호가 한꺼번에 얽히는 곳이라 실수가 가장 많이 나옵니다.
- 절댓값 함수의 정적분 결과는 항상 0 이상입니다. 중간에 어느 구간의 적분값이 음수로 나오면 절댓값을 벗기는 부호가 잘못된 것이니 바로 되돌아가 확인하세요.