빈출 유형
방정식의 실근 조건
사차함수의 최솟값
출제의도
이 문항은 “방정식 f(x)=0이 실근을 갖는다”는 조건을 “함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만난다”는 그래프 조건으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수는 최솟값을 가지므로, 결국 최솟값이 0 이하인 조건으로 정리됩니다.
도함수 f′(x)를 인수분해한 뒤 남은 이차식이 항상 양수임을 확인해 극값이 하나뿐이라는 것을 판단하는 과정이 핵심입니다.
단계별 힌트
실근은 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표입니다. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수의 그래프는 양 끝이 위로 올라가므로, 그래프의 가장 낮은 점이 어디에 있어야 x축과 만날지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=4x3−12x2+20x−12의 계수를 모두 더하면 0이므로 x=1을 대입하면 0이 됩니다. 즉, f′(x)는 x−1을 인수로 가집니다.
x−1로 나눈 뒤 남는 이차식은 완전제곱식으로 바꿔 보면 부호를 판단할 수 있습니다. 이차식이 항상 양수라면 f′(x)의 부호는 x−1의 부호가 결정합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(x)는 x=1에서 최솟값을 가지므로 f(1)을 k로 나타내고, (최솟값)≤0인 부등식을 세우세요. 마지막으로 조건을 만족시키는 자연수 k를 모두 찾아 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수 인수분해하기
f′(x)=4x3−12x2+20x−12=4(x−1)(x2−2x+3)입니다. x2−2x+3=(x−1)2+2>0이므로 f′(x)=0의 실근은 x=1 하나뿐입니다.
STEP B증가와 감소로 최솟값 구하기
x<1에서 f′(x)<0이므로 감소하고, x>1에서 f′(x)>0이므로 증가합니다. 따라서 f(x)는 x=1에서 최솟값 f(1)=1−4+10−12+k=k−5를 갖습니다.
STEP C실근 조건으로 k의 범위 정하기
방정식이 실근을 가지려면 그래프가 x축과 만나야 하므로 k−5≤0, 즉 k≤5입니다. 자연수 k는 1, 2, 3, 4, 5이고 그 합은 15이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 완전제곱 치환으로 미분 없이
x4−4x3=(x2−2x)2−4x2이므로 식을 정리하면 x4−4x3+10x2−12x+k=(x2−2x)2+6(x2−2x)+k입니다. 여기서 t=x2−2x로 놓으면 t=(x−1)2−1이므로 t≥−1입니다.
이제 식은 t2+6t+k=(t+3)2+k−9이고, 꼭짓점 t=−3이 범위 t≥−1 밖에 있으므로 t≥−1에서 증가합니다. 따라서 최솟값은 t=−1일 때 1−6+k=k−5로, 미분으로 구한 값과 같습니다. x4, x3의 계수 비가 1:−4처럼 (x2−2x)2를 만들 수 있는 꼴이면 이 치환이 빠르고, 치환한 t의 범위를 반드시 함께 챙겨야 한다는 점도 연습할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(x)를 인수분해할 때 계수의 합이 0이면 x=1이 근이라는 점을 이용하세요. 조립제법으로 나누면 4x2−8x+12=4(x2−2x+3)이 남습니다.
- x2−2x+3의 부호를 확인하지 않으면 극값이 여러 개인지 판단할 수 없습니다. 판별식이 음수이거나 (x−1)2+2 꼴로 바꾸어 항상 양수임을 꼭 확인하세요.
- k=5일 때 최솟값이 0이 되어 그래프가 x축에 접하며, 이때도 x=1이라는 실근(중근)을 가집니다. 부등식을 k−5<0으로 쓰면 k=5가 빠지므로 등호를 포함해야 합니다.
- 구하는 값은 k의 개수가 아니라 자연수 k의 값의 합입니다. 5를 답으로 고르지 않도록 마지막 질문을 다시 확인하세요.